Questão 21 Seja \omega=\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right) \in \mathbb{C}. Determine z \in \mathbb{C}, de modo que
\left|\begin{array}{rcr} z+1 & \omega & \omega^{2} \\ \omega & z+\omega^{2} & 1 \\ \omega^{2} & 1 & z+\omega \end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os z\in\mathbb{C} tais que
\det\begin{pmatrix} z+1 & \omega & \omega^{2}\\\ \omega & z+\omega^{2} & 1\\\ \omega^{2} & 1 & z+\omega \end{pmatrix}=0,
onde \omega=e^{2\pi i/3} é raiz cúbica da unidade. Vamos usar as propriedades \omega^3=1 e
1+\omega+\omega^2=0
para simplificar.

Passo 2

Observe que a matriz pode ser escrita como
A = zI + C,
onde
C = \begin{pmatrix} 1 & \omega & \omega^2\\\ \omega & \omega^2 & 1\\\ \omega^2 & 1 & \omega \end{pmatrix}
é uma matriz circulante. Sabemos que
\det(A)=\det(zI+C)=\prod_{k=0}^2\bigl(z+\lambda_k\bigr),
em que \lambda_0,\lambda_1,\lambda_2 são os autovalores de C.

Passo 3

Para uma matriz circulante de primeira linha (c_0,c_1,c_2), os autovalores são
\lambda_k = c_0 + c_1\,\omega^k + c_2\,\omega^{2k}, \quad k=0,1,2.
Aqui (c_0,c_1,c_2)=(1,\omega,\omega^2). Assim
\lambda_0 = 1 + \omega + \omega^2 = 0,
\lambda_1 = 1 + \omega\cdot\omega + \omega^2\cdot\omega^2 =1+\omega^2+\omega^4 =1+\omega^2+\omega =0,
\lambda_2 = 1 + \omega\cdot\omega^2 + \omega^2\cdot\omega^4 =1+\omega^3+\omega^6 =1+1+1 =3.

Passo 4

Logo
\det(A)=\bigl(z+\lambda_0\bigr)\bigl(z+\lambda_1\bigr)\bigl(z+\lambda_2\bigr) =z\cdot z\cdot(z+3) =z^2(z+3).
Para \det(A)=0 é necessário
z^2(z+3)=0 \quad\Longrightarrow\quad z=0\\ \text{ou}\\ z=-3.

Resposta

z=0 ou z=-3.

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