Demonstre que \lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x}=\frac{1}{2}.
Demonstre que \lim _{x \rightarrow a} \sqrt{x}=\sqrt{a} se a>0.
Passo 1
Vou listar claramente o que cada item pede e quais informações temos.
Item 36: provar que \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}.
Informação dada: função f(x)=\dfrac{1}{x} e ponto de limite x\to 2.
O que pedir: mostrar, segundo a definição \varepsilon-\delta, que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|x-2|<\delta implica \left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\right|<\varepsilon.
Item 37: provar que \displaystyle \lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a} para a>0.
Informação dada: função g(x)=\sqrt{x}, ponto a>0.
O que pedir: mostrar, segundo a definição \varepsilon-\delta, que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta (com x no domínio da raiz, i.e., x\ge 0) implica |\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon.
Agora vou provar cada limite passo a passo, usando a definição \varepsilon-\delta.
Passo 2
(Definição e estratégia para o item 36.) Lembrando a definição: dizer que \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2} significa isto:
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que, se }0<|x-2|<\delta,\\ \text{então }\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right|<\varepsilon.ã
Estratégia: manipular \left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\right| em função de |x-2| para encontrar uma escolha explícita de \delta em termos de \varepsilon.
Passo 3
(Algebra do termo a controlar no item 36.) Calculo a diferença:
Então temos a expressão \dfrac{|x-2|}{2|x|}, que relaciona a distância entre x e 2 com a diferença entre os valores das funções.
Passo 4
(Obter uma cota conveniente para o denominador no item 36.) Para controlar \dfrac{|x-2|}{2|x|} pelo |x-2| puro, precisamos de uma cota inferior para |x| quando x está perto de 2. Uma escolha prática: exigir que |x-2|<1. Então, se |x-2|<1 temos
Logo, para todos os x com |x-2|<1 vale |x|>1. Assim 2|x|>2 e
\frac{|x-2|}{2|x|} \le \frac{|x-2|}{2}.
Passo 5
(Escolha de \delta e conclusão para o item 36.) Queremos \dfrac{|x-2|}{2}<\varepsilon, que é garantido se |x-2|<2\varepsilon. Combinando com a exigência |x-2|<1, uma escolha segura é
\delta = \min\{1,\,2\varepsilon\}.
Verificação final: seja \varepsilon>0 dado e tome \delta como acima. Se 0<|x-2|<\delta então, em particular, |x-2|<1 (logo |x|>1) e |x-2|<2\varepsilon. Portanto
Isso prova, pela definição \varepsilon-\delta, que \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}.
Passo 6
(Comentário didático curto sobre o item 36.) Intuição: a manipulação trouxe a diferença para a forma \dfrac{|x-2|}{2|x|}. Próximo passo prático foi garantir que x não ficasse muito pequeno (aí o denominador explodiria); restringir |x-2|<1 faz x ficar perto de 2, então |x| tem um limite inferior simples e pronto — daí a desigualdade ficou direta.
Passo 7
(Definição e estratégia para o item 37.) Para o segundo limite, a definição é:
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que, se }0<|x-a|<\delta\\ (\text{e }x\ge 0),\\ \text{então }|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon.ã
Estratégia: usar o truque do conjugado para escrever |\sqrt{x}-\sqrt{a}| em termos de |x-a| dividido por uma soma de raízes, e então encontrar uma cota inferior para essa soma quando x estiver perto de a>0.
Passo 8
(Algebra com o conjugado para o item 37.) Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado obtemos
Essa identidade é muito útil porque substitui a diferença de raízes por algo proporcional a |x-a|, com uma divisão por \sqrt{x}+\sqrt{a}.
Passo 9
(Garantir que \sqrt{x} esteja bem comportada perto de a.) Como a>0, escolhemos uma pequena vizinhança de a onde x permanece positiva e longe de zero. Por exemplo, se tomarmos \delta\le \dfrac{a}{2} então, para 0<|x-a|<\delta, segue que
x > a - \delta \ge a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2} > 0.
Portanto, dentro dessa vizinhança x\ge \dfrac{a}{2} e \sqrt{x}\ge \sqrt{\dfrac{a}{2}}.
Passo 10
(Obter cota para o denominador e vincular a \varepsilon no item 37.) Com x\ge \dfrac{a}{2} temos
Verificação: dado \varepsilon>0, com essa escolha, se 0<|x-a|<\delta então x\ge \dfrac{a}{2} (pelo primeiro membro da min) e também |x-a|<\varepsilon(\sqrt{a/2}+\sqrt{a}). Então, pelo Passo 10,
Portanto, pela definição \varepsilon-\delta, segue que \displaystyle \lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a} para todo a>0.
Passo 12
(Comentário didático curto sobre o item 37.) Intuição: usar o conjugado transforma a diferença de raízes numa fração com |x-a| no numerador; o trabalho é então garantir que o denominador não fique demasiado pequeno (por isso fixamos uma vizinhança que impede x de chegar próximo de 0). Depois é só escolher \delta proporcional a \varepsilon.