1. Demonstre que \lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x}=\frac{1}{2}.
  2. Demonstre que \lim _{x \rightarrow a} \sqrt{x}=\sqrt{a} se a>0.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e quais informações temos.
  • Item 36: provar que \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}.
    • Informação dada: função f(x)=\dfrac{1}{x} e ponto de limite x\to 2.
    • O que pedir: mostrar, segundo a definição \varepsilon- \delta, que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|x-2|<\delta implica \left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\right|<\varepsilon.
  • Item 37: provar que \displaystyle \lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a} para a>0.
    • Informação dada: função g(x)=\sqrt{x}, ponto a>0.
    • O que pedir: mostrar, segundo a definição \varepsilon- \delta, que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|x-a|<\delta (com x no domínio da raiz, i.e., x\ge 0) implica |\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon.
Agora vou provar cada limite passo a passo, usando a definição \varepsilon- \delta.

Passo 2

(Definição e estratégia para o item 36.) Lembrando a definição: dizer que \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2} significa isto:
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que, se }0<|x-2|<\delta,\\ \text{então }\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right|<\varepsilon.ã
Estratégia: manipular \left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\right| em função de |x-2| para encontrar uma escolha explícita de \delta em termos de \varepsilon.

Passo 3

(Algebra do termo a controlar no item 36.) Calculo a diferença:
\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right| = \left|\frac{2-x}{2x}\right| = \frac{|x-2|}{2|x|}.
Então temos a expressão \dfrac{|x-2|}{2|x|}, que relaciona a distância entre x e 2 com a diferença entre os valores das funções.

Passo 4

(Obter uma cota conveniente para o denominador no item 36.) Para controlar \dfrac{|x-2|}{2|x|} pelo |x-2| puro, precisamos de uma cota inferior para |x| quando x está perto de 2. Uma escolha prática: exigir que |x-2|<1. Então, se |x-2|<1 temos
|x| = |x-2+2| \ge |2| - |x-2| = 2 - |x-2| > 2 - 1 = 1.
Logo, para todos os x com |x-2|<1 vale |x|>1. Assim 2|x|>2 e
\frac{|x-2|}{2|x|} \le \frac{|x-2|}{2}.

Passo 5

(Escolha de \delta e conclusão para o item 36.) Queremos \dfrac{|x-2|}{2}<\varepsilon, que é garantido se |x-2|<2\varepsilon. Combinando com a exigência |x-2|<1, uma escolha segura é
\delta = \min\{1,\,2\varepsilon\}.
Verificação final: seja \varepsilon>0 dado e tome \delta como acima. Se 0<|x-2|<\delta então, em particular, |x-2|<1 (logo |x|>1) e |x-2|<2\varepsilon. Portanto
\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right|=\frac{|x-2|}{2|x|}\le\frac{|x-2|}{2}<\frac{2\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Isso prova, pela definição \varepsilon- \delta, que \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}.

Passo 6

(Comentário didático curto sobre o item 36.) Intuição: a manipulação trouxe a diferença para a forma \dfrac{|x-2|}{2|x|}. Próximo passo prático foi garantir que x não ficasse muito pequeno (aí o denominador explodiria); restringir |x-2|<1 faz x ficar perto de 2, então |x| tem um limite inferior simples e pronto — daí a desigualdade ficou direta.

Passo 7

(Definição e estratégia para o item 37.) Para o segundo limite, a definição é:
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que, se }0<|x-a|<\delta\\ (\text{e }x\ge 0),\\ \text{então }|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon.ã
Estratégia: usar o truque do conjugado para escrever |\sqrt{x}-\sqrt{a}| em termos de |x-a| dividido por uma soma de raízes, e então encontrar uma cota inferior para essa soma quando x estiver perto de a>0.

Passo 8

(Algebra com o conjugado para o item 37.) Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado obtemos
|\sqrt{x}-\sqrt{a}| = \frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}.
Essa identidade é muito útil porque substitui a diferença de raízes por algo proporcional a |x-a|, com uma divisão por \sqrt{x}+\sqrt{a}.

Passo 9

(Garantir que \sqrt{x} esteja bem comportada perto de a.) Como a>0, escolhemos uma pequena vizinhança de a onde x permanece positiva e longe de zero. Por exemplo, se tomarmos \delta\le \dfrac{a}{2} então, para 0<|x-a|<\delta, segue que
x > a - \delta \ge a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2} > 0.
Portanto, dentro dessa vizinhança x\ge \dfrac{a}{2} e \sqrt{x}\ge \sqrt{\dfrac{a}{2}}.

Passo 10

(Obter cota para o denominador e vincular a \varepsilon no item 37.) Com x\ge \dfrac{a}{2} temos
\sqrt{x}+\sqrt{a} \ge \sqrt{\frac{a}{2}}+\sqrt{a}.
Assim, usando a expressão do Passo 8,
|\sqrt{x}-\sqrt{a}| = \frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \le \frac{|x-a|}{\sqrt{\dfrac{a}{2}}+\sqrt{a}}.
Para garantir que o lado direito seja menor que \varepsilon basta exigir
|x-a| < \varepsilon\bigl(\sqrt{\tfrac{a}{2}}+\sqrt{a}\bigr).

Passo 11

(Escolha de \delta e conclusão para o item 37.) Combine as duas exigências (manter x positivo e controlar a diferença): escolha
\delta = \min\left\{\frac{a}{2},\\ \varepsilon\bigl(\sqrt{\tfrac{a}{2}}+\sqrt{a}\bigr)\right\}.
Verificação: dado \varepsilon>0, com essa escolha, se 0<|x-a|<\delta então x\ge \dfrac{a}{2} (pelo primeiro membro da min) e também |x-a|<\varepsilon(\sqrt{a/2}+\sqrt{a}). Então, pelo Passo 10,
|\sqrt{x}-\sqrt{a}| \le \frac{|x-a|}{\sqrt{a/2}+\sqrt{a}}<\varepsilon.
Portanto, pela definição \varepsilon- \delta, segue que \displaystyle \lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a} para todo a>0.

Passo 12

(Comentário didático curto sobre o item 37.) Intuição: usar o conjugado transforma a diferença de raízes numa fração com |x-a| no numerador; o trabalho é então garantir que o denominador não fique demasiado pequeno (por isso fixamos uma vizinhança que impede x de chegar próximo de 0). Depois é só escolher \delta proporcional a \varepsilon.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}
\displaystyle \lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}

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