classificar o tipo de descontinuidade (se houver) em x=1 e x=2.]
Passo 2
Conceitos rápidos e úteis (explicando devagar, como na prova):
Limite lateral: \lim_{x\to a^-} g(x) é o valor ao qual g(x) se aproxima quando x se aproxima de a por valores menores que a. \lim_{x\to a^+} g(x) é o mesmo, vindo por valores maiores que a.
Limite total: \lim_{x\to a} g(x) existe se e somente se as duas limites laterais existirem e forem iguais.
Continuidade em a: g é contínua em a se \lim_{x\to a} g(x) existe e é igual a g(a).
Para funções definidas por polinômios ou expressões polinomiais (como x, 2-x^{2}, x-3), o limite ao aproximar-se de um ponto interno ao domínio é obtido simplesmente substituindo x=a (essas funções são contínuas onde estão definidas). Só precisamos ter cuidado nos pontos de mudança de ramo (aqui, x=1 e x=2).
Passo 3
Calcular limites em x=1.
Limite pela esquerda (x\to1^-): quando x<1 vale g(x)=x. Como x é contínua, basta substituir:
\lim_{x\to1^-} g(x)=\lim_{x\to1^-} x = 1.
Limite pela direita (x\to1^+): quando 1<x\le 2 vale g(x)=2-x^{2}. Substituindo x\to1:
Como as duas limites laterais são iguais, o limite total existe:
\lim_{x\to1} g(x)=1.
Mas o valor da função no ponto é g(1)=3 (dado).
Passo 4
Conclusão em x=1 (explicando o porquê e como consertar, caso queira):
Temos \lim_{x\to1} g(x)=1 e g(1)=3. Como o limite existe e é diferente do valor da função, g é descontínua em x=1. Esse tipo de descontinuidade chama-se descontinuidade removível: basta redefinir g(1)=1 para tornar g contínua em 1.
Passo 5
Calcular limites em x=2.
Limite pela esquerda (x\to2^-): para 1<x\le 2 temos g(x)=2-x^{2}. Substituindo:
As duas limites laterais são diferentes (-2 e -1), logo o limite total \lim_{x\to2} g(x) NÃO existe.
O valor da função em x=2 é dado pelo ramo 1<x\le2, então
g(2)=2-2^{2}=-2,
ou seja, a igualdade \lim_{x\to2^-} g(x)=g(2) vale, mas \lim_{x\to2^+} g(x)\ne g(2).
Passo 6
Conclusão em x=2:
Como as limites laterais existem mas são diferentes, g tem uma descontinuidade do tipo salto (jump) em x=2. Não dá para “remover” redefinindo o valor em 2 para resolver, porque os dois lados não concordam — há um salto finito de tamanho (-1)-(-2)=1.
Passo 7
Continuidade fora dos pontos críticos:
Para x<1 a fórmula é g(x)=x, polinomial, logo contínua em todo (-\infty,1).
Para 1<x<2 a fórmula é g(x)=2-x^{2}, polinomial, logo contínua em (1,2).
Para x>2 a fórmula é g(x)=x-3, polinomial, logo contínua em (2,\infty).
Portanto, g é contínua em todos os pontos exceto x=1 e x=2. Em termos de conjunto:
\text{Conjunto de continuidade}=(-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,\infty).
Passo 8
Resumo final (para checar rápido na prova):
\lim_{x\to1} g(x)=1, mas g(1)=3\Rightarrow descontinuidade removível em x=1.
\lim_{x\to2^-} g(x)=-2 e \lim_{x\to2^+} g(x)=-1\Rightarrow limite não existe e há descontinuidade do tipo salto em x=2.
g é contínua em todos os demais pontos: (-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,\infty).
Resposta
\lim_{x\to1} g(x)=1,\\ g(1)=3 (descontinuidade removível em x=1). \lim_{x\to2^-} g(x)=-2,\\ \lim_{x\to2^+} g(x)=-1 (limite não existe; descontinuidade por salto em x=2). g é contínua em (-\infty,1)\cup(1,2)\cup(2,\infty).