Demonstre que
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{x^{p}}=0
para todo número p>0. Isso mostra que a função logaritmo tende a infinito mais vagarosamente que qualquer potência de x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo p>0,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{p}}=0.
O conteúdo é de crescimento de funções e vamos usar a Regra de L’Hôpital, pois a forma \frac{\ln x}{x^p} é do tipo \frac{\infty}{\infty} quando x\to\infty.

Passo 2

Verificamos o tipo indeterminado. Quando x\to\infty, temos \ln x\to\infty e x^p\to\infty. Logo a expressão
\frac{\ln x}{x^{p}}
é da forma \frac{\infty}{\infty}, e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, diferenciamos numerador e denominador separadamente:
– Derivada de \ln x em relação a x é \tfrac{1}{x}.
– Derivada de x^p em relação a x é p\,x^{p-1}.
Assim,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{p}} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x^p)} =\lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac{1}{x}}{p\,x^{p-1}} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{p\,x^p}.

Passo 4

Para p>0, claramente x^p\to\infty quando x\to\infty. Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{p\,x^p} =0.
Pelo argumento de L’Hôpital, concluímos que
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{p}}=0.

Resposta

0

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