Demonstre que
para todo número
. Isso mostra que a função logaritmo tende a infinito mais vagarosamente que qualquer potência de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
,
O conteúdo é de crescimento de funções e vamos usar a Regra de L’Hôpital, pois a forma
é do tipo
quando
.
Passo 2
Verificamos o tipo indeterminado. Quando
, temos
e
. Logo a expressão
é da forma
, e podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 3
Aplicando L’Hôpital, diferenciamos numerador e denominador separadamente:
– Derivada de em relação a
é
.
– Derivada de em relação a
é
.
Assim,
– Derivada de
– Derivada de
Assim,
Passo 4
Para
, claramente
quando
. Portanto
Pelo argumento de L’Hôpital, concluímos que