Explicando as letras: A_x,A_y,A_z são as componentes de \mathbf{A} nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}, e o determinante da matriz cujas colunas são as componentes dos vetores é igual ao produto misto.]
Passo 4
Ligar determinante zero com dependência linear (ideia-chave, com linguagem simples):
Considere a matriz M cuja coluna 1 é \mathbf{A}, coluna 2 é \mathbf{B} e coluna 3 é \mathbf{C}:
O sistema homogêneo M\begin{pmatrix}\alpha\\[2pt]\beta\\[2pt]\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} é exatamente a equação \alpha\mathbf{A}+\beta\mathbf{B}+\gamma\mathbf{C}=\mathbf{0}.
Um fato básico de álgebra linear (que podemos intuir sem jargão): esse sistema tem uma solução não trivial (ou seja, \alpha,\beta,\gamma nem todos zeros) se, e somente se, \det M=0. Intuição: se o determinante é zero, as colunas não formam uma base de \mathbb{R}^3 e então uma coluna pode ser obtida como combinação linear das outras; portanto há dependência.]
Passo 5
Conclusão geral (a demonstração pedida):
Partindo da hipótese \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0, pela fórmula do passo 3 temos \det M=0.
Pelo argumento do passo 4, \det M=0 implica que o sistema homogêneo tem solução não trivial, ou seja existe (\alpha,\beta,\gamma) não todos nulos com \alpha\mathbf{A}+\beta\mathbf{B}+\gamma\mathbf{C}=\mathbf{0}.
Portanto \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} são linearmente dependentes. (Resultado demonstrado.)
Passo 6
Agora vamos aplicar isso aos vetores dados — primeiro extraímos as componentes:
Portanto o produto misto é zero. Pelo resultado do Passo 5, isso implica que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 8
Além do argumento pelo produto misto, podemos ainda escrever explicitamente uma combinação linear não trivial que anula os vetores — isso ajuda a “ver” a dependência:
Resolva \alpha\mathbf{A}+\beta\mathbf{B}+\gamma\mathbf{C}=\mathbf{0}\). Das componentes obtemos
\[\begin{cases} \beta+\gamma=0,\\[4pt] \alpha+\gamma=0,\\[4pt] 3\alpha-2\beta+\gamma=0. \end{cases}
Da primeira e segunda equações vem \beta=-\gamma\] e \(\alpha=-\gamma. Substituindo na terceira verifica-se que qualquer \gamma funciona. Tomando \gamma=1 obtemos \alpha=-1,\;\beta=-1,\;\gamma=1, isto é
A relação \mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B} mostra de forma clara e direta a dependência linear.]
Resposta
Se \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0 então \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} são linearmente dependentes.
Os vetores \mathbf{A}=\mathbf{j}+3\mathbf{k}, \mathbf{B}=\mathbf{i}-2\mathbf{k} e \mathbf{C}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k} são linearmente dependentes (de fato \mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}).