Demonstre que \mathrm{A}, \mathrm{B} e C não serão linearmente independentes se
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \times \mathbf{C}=0
Serão os vetores
\begin{gathered} \mathbf{A}=\mathbf{j}+3 \mathbf{k} \\\ \mathbf{B}=\mathbf{i}-2 \mathbf{k} \\\ \mathbf{C}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k} \end{gathered}
linearmente independentes?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Demonstrar que \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} não serão linearmente independentes se \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0.
  • Verificar se, para os vetores
\mathbf{A}=\mathbf{j}+3\mathbf{k},\qquad \mathbf{B}=\mathbf{i}-2\mathbf{k},\qquad \mathbf{C}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k},
eles são linearmente independentes.
Informações relevantes dadas:
  • A quantidade \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) (produto misto ou triplo escalar) é zero.
  • Os vetores concretos têm componentes que podemos extrair da expressão dada.

Passo 2

Definição prática de independência linear (essa é a condição que vamos usar):
  • Dizemos que três vetores \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} são linearmente independentes se a única solução do sistema
\alpha\mathbf{A}+\beta\mathbf{B}+\gamma\mathbf{C}=\mathbf{0}
é \alpha=\beta=\gamma=0.
  • Se existir uma tripla (\alpha,\beta,\gamma) não toda nula que satisfaça a igualdade acima, então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Expressão útil do produto misto (fórmula que vamos usar):
  • Se \mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z), \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z) e \mathbf{C}=(C_x,C_y,C_z), então
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) =\det\begin{pmatrix} A_x & B_x & C_x\\[4pt] A_y & B_y & C_y\\[4pt] A_z & B_z & C_z \end{pmatrix}.
  • Explicando as letras: A_x,A_y,A_z são as componentes de \mathbf{A} nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}, e o determinante da matriz cujas colunas são as componentes dos vetores é igual ao produto misto.]

Passo 4

Ligar determinante zero com dependência linear (ideia-chave, com linguagem simples):
  • Considere a matriz M cuja coluna 1 é \mathbf{A}, coluna 2 é \mathbf{B} e coluna 3 é \mathbf{C}:
M=\begin{pmatrix} A_x & B_x & C_x\\[4pt] A_y & B_y & C_y\\[4pt] A_z & B_z & C_z \end{pmatrix}.
  • O sistema homogêneo M\begin{pmatrix}\alpha\\[2pt]\beta\\[2pt]\gamma\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} é exatamente a equação \alpha\mathbf{A}+\beta\mathbf{B}+\gamma\mathbf{C}=\mathbf{0}.
  • Um fato básico de álgebra linear (que podemos intuir sem jargão): esse sistema tem uma solução não trivial (ou seja, \alpha,\beta,\gamma nem todos zeros) se, e somente se, \det M=0. Intuição: se o determinante é zero, as colunas não formam uma base de \mathbb{R}^3 e então uma coluna pode ser obtida como combinação linear das outras; portanto há dependência.]

Passo 5

Conclusão geral (a demonstração pedida):
  • Partindo da hipótese \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0, pela fórmula do passo 3 temos \det M=0.
  • Pelo argumento do passo 4, \det M=0 implica que o sistema homogêneo tem solução não trivial, ou seja existe (\alpha,\beta,\gamma) não todos nulos com \alpha\mathbf{A}+\beta\mathbf{B}+\gamma\mathbf{C}=\mathbf{0}.
  • Portanto \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} são linearmente dependentes. (Resultado demonstrado.)

Passo 6

Agora vamos aplicar isso aos vetores dados — primeiro extraímos as componentes:
\mathbf{A}=(0,\,1,\,3),\qquad \mathbf{B}=(1,\,0,\,-2),\qquad \mathbf{C}=(1,\,1,\,1).
Vou calcular \mathbf{B}\times\mathbf{C} usando o determinante padrão para produto vetorial:
\mathbf{B}\times\mathbf{C} =\det\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\[4pt] 1&0&-2\\[4pt] 1&1&1\end{pmatrix} =2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+1\mathbf{k},
ou seja \mathbf{B}\times\mathbf{C}=(2,-3,1).]

Passo 7

Agora o produto escalar \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}):
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) =(0,1,3)\cdot(2,-3,1) =0\cdot 2 + 1\cdot(-3) + 3\cdot 1 = -3 + 3 = 0.
Portanto o produto misto é zero. Pelo resultado do Passo 5, isso implica que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 8

Além do argumento pelo produto misto, podemos ainda escrever explicitamente uma combinação linear não trivial que anula os vetores — isso ajuda a “ver” a dependência:
  • Resolva \alpha\mathbf{A}+\beta\mathbf{B}+\gamma\mathbf{C}=\mathbf{0}\). Das componentes obtemos \[\begin{cases} \beta+\gamma=0,\\[4pt] \alpha+\gamma=0,\\[4pt] 3\alpha-2\beta+\gamma=0. \end{cases}
  • Da primeira e segunda equações vem \beta=-\gamma\] e \(\alpha=-\gamma. Substituindo na terceira verifica-se que qualquer \gamma funciona. Tomando \gamma=1 obtemos \alpha=-1,\;\beta=-1,\;\gamma=1, isto é
-\,\mathbf{A}-\mathbf{B}+\mathbf{C}=\mathbf{0}\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}.
  • A relação \mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B} mostra de forma clara e direta a dependência linear.]

Resposta

Se \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=0 então \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} são linearmente dependentes.
Os vetores \mathbf{A}=\mathbf{j}+3\mathbf{k}, \mathbf{B}=\mathbf{i}-2\mathbf{k} e \mathbf{C}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k} são linearmente dependentes (de fato \mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}).

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