Demonstre que o vetor unitário normal à superfície
constante é
Encontre n para o elipsóide
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Demonstrar que o vetor unitário normal à superfície dada por
constante é
- Aplicar essa fórmula ao elipsóide dado por
e encontrar .
Informações fornecidas e hipóteses implícitas:
-
é uma função escalar diferenciável de . - A superfície é o nível
constante (um conjunto de pontos onde tem o mesmo valor). -
são constantes (geralmente positivas se for um elipsóide no sentido usual).
Não vou resolver nada ainda; só deixei explícito o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Conceito-chave: o que significa ser normal a uma superfície nível
constante?
Considere uma curva qualquer
que esteja contida na superfície nível, isto é, para todo
temos
constante. Como essa composição é constante, sua derivada temporal é zero:
Pela regra da cadeia (chain rule), a derivada da composição pode ser escrita usando o gradiente de
:
Aqui
é o vetor gradiente cujas componentes são as derivadas parciais
, e
é o vetor tangente à curva (um vetor tangente à superfície).
Portanto para qualquer vetor tangente
à superfície vale
Isto quer dizer que
é ortogonal (perpendicular) a todos os vetores tangentes da superfície, ou seja,
é um vetor normal à superfície.
Explicando didaticamente: o gradiente aponta na direção de maior crescimento de
; deslocamentos que ficam na superfície não mudam
, então esses deslocamentos (que são tangentes) devem ser perpendiculares ao gradiente.
Passo 3
Agora que vimos que
é um vetor normal (não necessariamente unitário), para obter o vetor unitário normal basta dividir esse vetor pela sua norma (magnitude). A norma de um vetor
é denotada
e corresponde à raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes.
Assim o vetor normal unitário natural associado ao nível é
Observação importante sobre sinal/orientação: a expressão acima dá um vetor unitário cujo sentido é o mesmo do sentido em que
aumenta. Se desejar o normal no sentido oposto, basta colocar um sinal negativo, i.e.
. Em muitos problemas escolhe-se o sentido “para fora” da superfície; aqui a fórmula acima já especifica a orientação pelo sinal do gradiente.
Passo 4
Agora aplicamos ao elipsóide
.
Primeiro calculemos o gradiente componente a componente. As derivadas parciais são:
Logo o gradiente é
Em seguida calculamos a norma de
:
Dividindo componente a componente para normalizar, obtemos