Demonstre que o vetor unitário normal à superfície \varphi(\mathbf{r})= constante é
\mathbf{n}=\nabla \varphi /|\nabla \varphi| .
Encontre n para o elipsóide
\varphi=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2} .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Demonstrar que o vetor unitário normal à superfície dada por \varphi(\mathbf{r})= constante é
\mathbf{n}=\frac{\nabla\varphi}{|\nabla\varphi|}.
  1. Aplicar essa fórmula ao elipsóide dado por \varphi=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2} e encontrar \mathbf{n}.
Informações fornecidas e hipóteses implícitas:
  • \varphi é uma função escalar diferenciável de \mathbf{r}=(x,y,z).
  • A superfície é o nível \varphi(\mathbf{r})= constante (um conjunto de pontos onde \varphi tem o mesmo valor).
  • a,b,c são constantes (geralmente positivas se for um elipsóide no sentido usual).
    Não vou resolver nada ainda; só deixei explícito o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Conceito-chave: o que significa ser normal a uma superfície nível \varphi(\mathbf{r})= constante?
Considere uma curva qualquer \mathbf{r}(t) que esteja contida na superfície nível, isto é, para todo t temos \varphi(\mathbf{r}(t))= constante. Como essa composição é constante, sua derivada temporal é zero:
\frac{d}{dt}\varphi(\mathbf{r}(t))=0.
Pela regra da cadeia (chain rule), a derivada da composição pode ser escrita usando o gradiente de \varphi:
\frac{d}{dt}\varphi(\mathbf{r}(t))=\nabla\varphi(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t).
Aqui \nabla\varphi é o vetor gradiente cujas componentes são as derivadas parciais \partial\varphi/\partial x,\;\partial\varphi/\partial y,\;\partial\varphi/\partial z, e \mathbf{r}'(t) é o vetor tangente à curva (um vetor tangente à superfície).
Portanto para qualquer vetor tangente \mathbf{v}=\mathbf{r}'(t) à superfície vale
\nabla\varphi\cdot\mathbf{v}=0.
Isto quer dizer que \nabla\varphi é ortogonal (perpendicular) a todos os vetores tangentes da superfície, ou seja, \nabla\varphi é um vetor normal à superfície.
Explicando didaticamente: o gradiente aponta na direção de maior crescimento de \varphi; deslocamentos que ficam na superfície não mudam \varphi, então esses deslocamentos (que são tangentes) devem ser perpendiculares ao gradiente.

Passo 3

Agora que vimos que \nabla\varphi é um vetor normal (não necessariamente unitário), para obter o vetor unitário normal basta dividir esse vetor pela sua norma (magnitude). A norma de um vetor \mathbf{w} é denotada |\mathbf{w}| e corresponde à raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes.
Assim o vetor normal unitário natural associado ao nível é
\mathbf{n}=\frac{\nabla\varphi}{|\nabla\varphi|}.
Observação importante sobre sinal/orientação: a expressão acima dá um vetor unitário cujo sentido é o mesmo do sentido em que \varphi aumenta. Se desejar o normal no sentido oposto, basta colocar um sinal negativo, i.e. \mathbf{n}=-\nabla\varphi/|\nabla\varphi|. Em muitos problemas escolhe-se o sentido “para fora” da superfície; aqui a fórmula acima já especifica a orientação pelo sinal do gradiente.

Passo 4

Agora aplicamos ao elipsóide \varphi(x,y,z)=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}.
Primeiro calculemos o gradiente componente a componente. As derivadas parciais são:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=2a x,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=2b y,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=2c z.
Logo o gradiente é
\nabla\varphi=(2a x,\;2b y,\;2c z).
Em seguida calculamos a norma de \nabla\varphi:
|\nabla\varphi|=\sqrt{(2a x)^{2}+(2b y)^{2}+(2c z)^{2}} =\sqrt{4\left(a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}\right)} =2\sqrt{a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}}.
Dividindo componente a componente para normalizar, obtemos
\mathbf{n}=\frac{(2a x,\;2b y,\;2c z)}{2\sqrt{a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}}} =\frac{(a x,\;b y,\;c z)}{\sqrt{a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}}}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{n}=\frac{\nabla\varphi}{|\nabla\varphi|}
\displaystyle \mathbf{n}=\frac{(a x,\;b y,\;c z)}{\sqrt{a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}}}

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