Demonstre que os números F, A das faces e arestas de um poliedro qualquer estão limitados por A+6 \leq 3 F \leq 2 A.

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade
A+6 \leq 3F \leq 2A,
onde F e A são, respectivamente, o número de faces e o número de arestas de um poliedro qualquer. Listei as informações relevantes que vamos usar: os números inteiros F, A e vou também usar V para o número de vértices (mesmo que o enunciado não tenha citado V, é uma quantidade natural quando trabalhamos com poliedros). Não começo a resolver aqui; apenas identifiquei o que é pedido e quais quantidades aparecem.

Passo 2

Explico um conceito básico que vamos precisar: cada face de um poliedro é um polígono com pelo menos três lados. Chamando de “número de lados” a quantidade de arestas que cercam uma face, isso significa que cada face contribui com pelo menos 3 para a soma total, contada por face, do número de arestas que a cercam. Se somarmos, para todas as faces, quantas arestas as cercam, obtemos exatamente 2A, porque cada aresta pertence a duas faces (contamos uma vez para cada face que toca essa aresta). Em linguagem de contagem dupla:
\text{soma dos lados de todas as faces} = 2A.
Como cada face tem pelo menos 3 lados, a soma dos lados de todas as faces é pelo menos 3F. Portanto:
3F \leq 2A.
Isto prova a desigualdade da direita.

Passo 3

Agora outra ideia parecida, mas aplicada aos vértices: o grau (número de arestas que incidem) de cada vértice é pelo menos 3 em qualquer poliedro (não existe vértice com só uma ou duas arestas que formem uma face válida). Se somarmos os graus de todos os vértices obtemos novamente 2A (cada aresta contribui com 1 ao grau de cada uma de suas duas extremidades). Logo:
\text{soma dos graus de todos os vértices} = 2A.é
E como cada vértice tem grau \geq 3, temos:
3V \leq 2A.

Passo 4

Agora preciso ligar V com F e A. Para poliedros “convencionais” (aqueles topologicamente equivalentes a uma esfera, que é o contexto padrão de problemas assim), vale a fórmula de Euler:
V - A + F = 2.
Vou usar essa fórmula: é um resultado clássico e pode ser visto como consequência de transformar o poliedro num grafo planar e aplicar argumentos de indução ou remoção de faces, mas aqui aceitamos sua validade para poliedros do tipo considerado.

Passo 5

Isolo V a partir da fórmula de Euler:
V = 2 + A - F.
Agora pego a desigualdade obtida no Passo 3, 3V \leq 2A, e substituo V por 2 + A - F. Assim:
3(2 + A - F) \leq 2A.
Faço a distribuição à esquerda:
6 + 3A - 3F \leq 2A.
Passo 3F para o outro lado e agrupo termos em A:
6 + 3A - 2A \leq 3F
ou seja
6 + A \leq 3F.
Isto é exatamente a desigualdade da esquerda:
A + 6 \leq 3F.

Passo 6

Juntando o resultado do Passo 2 com o do Passo 5 já provemos ambas as desigualdades desejadas:
A + 6 \leq 3F \leq 2A.
Para intuição rápida: a desigualdade da direita vem de contar arestas por faces (cada face tem ≥3 lados); a da esquerda vem de contar arestas por vértices (cada vértice tem ≥3 arestas) e usar Euler para relacionar V, A e F.

Passo 7

Para dar confiança, veja que em exemplos clássicos as desigualdades se verificam e às vezes ocorrem igualdades:
  • Tetraedro: F=4, A=6. Então A+6=12, 3F=12, 2A=12 — ambas as desigualdades são igualdades.
  • Cubo: F=6, A=12. Então A+6=18, 3F=18, 2A=24 — igualdade à esquerda, estrita à direita.
  • Octaedro: F=8, A=12. Então A+6=18, 3F=24, 2A=24 — estrita à esquerda, igualdade à direita.

Resposta

A + 6 \leq 3F \leq 2A

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