Demonstre que os números
das faces e arestas de um poliedro qualquer estão limitados por
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade
onde
e
são, respectivamente, o número de faces e o número de arestas de um poliedro qualquer. Listei as informações relevantes que vamos usar: os números inteiros
,
e vou também usar
para o número de vértices (mesmo que o enunciado não tenha citado
, é uma quantidade natural quando trabalhamos com poliedros). Não começo a resolver aqui; apenas identifiquei o que é pedido e quais quantidades aparecem.
Passo 2
Explico um conceito básico que vamos precisar: cada face de um poliedro é um polígono com pelo menos três lados. Chamando de “número de lados” a quantidade de arestas que cercam uma face, isso significa que cada face contribui com pelo menos
para a soma total, contada por face, do número de arestas que a cercam. Se somarmos, para todas as faces, quantas arestas as cercam, obtemos exatamente
, porque cada aresta pertence a duas faces (contamos uma vez para cada face que toca essa aresta). Em linguagem de contagem dupla:
Como cada face tem pelo menos
lados, a soma dos lados de todas as faces é pelo menos
. Portanto:
Isto prova a desigualdade da direita.
Passo 3
Agora outra ideia parecida, mas aplicada aos vértices: o grau (número de arestas que incidem) de cada vértice é pelo menos
em qualquer poliedro (não existe vértice com só uma ou duas arestas que formem uma face válida). Se somarmos os graus de todos os vértices obtemos novamente
(cada aresta contribui com
ao grau de cada uma de suas duas extremidades). Logo:
E como cada vértice tem grau
, temos:
Passo 4
Agora preciso ligar
com
e
. Para poliedros “convencionais” (aqueles topologicamente equivalentes a uma esfera, que é o contexto padrão de problemas assim), vale a fórmula de Euler:
Vou usar essa fórmula: é um resultado clássico e pode ser visto como consequência de transformar o poliedro num grafo planar e aplicar argumentos de indução ou remoção de faces, mas aqui aceitamos sua validade para poliedros do tipo considerado.
Passo 5
Isolo
a partir da fórmula de Euler:
Agora pego a desigualdade obtida no Passo 3,
, e substituo
por
. Assim:
Faço a distribuição à esquerda:
Passo
para o outro lado e agrupo termos em
:
ou seja
Isto é exatamente a desigualdade da esquerda:
Passo 6
Juntando o resultado do Passo 2 com o do Passo 5 já provemos ambas as desigualdades desejadas:
Para intuição rápida: a desigualdade da direita vem de contar arestas por faces (cada face tem ≥3 lados); a da esquerda vem de contar arestas por vértices (cada vértice tem ≥3 arestas) e usar Euler para relacionar
,
e
.
Passo 7
Para dar confiança, veja que em exemplos clássicos as desigualdades se verificam e às vezes ocorrem igualdades:
- Tetraedro:
, . Então , , — ambas as desigualdades são igualdades. - Cubo:
, . Então , , — igualdade à esquerda, estrita à direita. - Octaedro:
, . Então , , — estrita à esquerda, igualdade à direita.