Demonstre que os números \mathrm{F}, \mathrm{V}, \mathrm{A}, das faces, vértices e arestas de um poliedro qualquer estão limitados por:
b) A+6 \leq 3 V \leq 2 A

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num poliedro qualquer com F faces, V vértices e A arestas, vale
A + 6 \;\le\; 3V \;\le\; 2A.
Vamos usar a fórmula de Euler
V - A + F = 2
e os contagens de incidência entre arestas, faces e vértices.

Passo 2

Cada face é limitada por pelo menos três arestas. Se somarmos o número de arestas de cada face, obtemos exatamente duas vezes o total de arestas (porque cada aresta pertence a duas faces). Assim:
\sum_{\text{faces}}(\text{nº de arestas}) \;=\; 2A \quad\text{e}\quad \sum_{\text{faces}}(\text{nº de arestas}) \;\ge\; 3F.ºº
Daí
2A \;\ge\; 3F \quad\Longrightarrow\quad F \;\le\; \tfrac{2A}{3}.
Analogamente, em cada vértice chegam pelo menos três arestas, e somando os graus de todos os vértices:
\sum_{\text{vértices}}(\deg v) \;=\; 2A \quad\text{e}\quad \sum_{\text{vértices}}(\deg v) \;\ge\; 3V,éé
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2A \;\ge\; 3V.

Passo 3

Da fórmula de Euler temos
V \;=\; A - F + 2.
Como F \le \tfrac{2A}{3}, segue
V \;\ge\; A - \frac{2A}{3} + 2 \;=\;\frac{A}{3} + 2.
Multiplicando por 3,
3V \;\ge\; A + 6,
o que é a primeira desigualdade desejada.

Passo 4

Já da contagem dos graus dos vértices temos diretamente
2A \;\ge\; 3V \quad\Longrightarrow\quad 3V \;\le\; 2A,
que é a segunda desigualdade desejada.

Resposta

A + 6 \;\le\; 3V \;\le\; 2A.

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