Demonstre que os números
, das faces, vértices e arestas de um poliedro qualquer estão limitados por:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num poliedro qualquer com
faces,
vértices e
arestas, vale
Vamos usar a fórmula de Euler
e os contagens de incidência entre arestas, faces e vértices.
Passo 2
Cada face é limitada por pelo menos três arestas. Se somarmos o número de arestas de cada face, obtemos exatamente duas vezes o total de arestas (porque cada aresta pertence a duas faces). Assim:
Daí
Analogamente, em cada vértice chegam pelo menos três arestas, e somando os graus de todos os vértices:
logo
Passo 3
Da fórmula de Euler temos
Como
, segue
Multiplicando por 3,
o que é a primeira desigualdade desejada.
Passo 4
Já da contagem dos graus dos vértices temos diretamente
que é a segunda desigualdade desejada.