Demonstre que os números \mathrm{F}, \mathrm{V}, \mathrm{A}, das faces, vértices e arestas de um poliedro qualquer estão limitados por:
a) A+6 \leq 3 F \leq 2 A

Passo 1

O enunciado pede para provar que, num poliedro qualquer com F faces, V vértices e A arestas, valem as desigualdades
A + 6 \le 3F \le 2A.
Os ingredientes principais são a fórmula de Euler
F + V = A + 2
e o fato de que cada face tem pelo menos 3 arestas, assim como cada vértice toca pelo menos 3 arestas. A partir daí vamos usar o “lema do aperto de mãos” tanto entre faces e arestas quanto entre vértices e arestas.

Passo 2

Contagem de incidências face–aresta. Se somamos, face a face, o número de arestas de cada face, obtemos exatamente duas vezes A, pois cada aresta pertence a duas faces. Em símbolos:
\sum_{\text{faces }f}(\#\text{ arestas em }f)=2A.
Como cada face tem no mínimo 3 arestas,
2A = \sum_{f}(\#\text{ arestas em }f)\ge 3F.
Isolando F, vem
3F \le 2A,
que é a segunda desigualdade pedida.

Passo 3

Contagem de incidências vértice–aresta. De modo análogo, somando o número de arestas que incidem em cada vértice dá também 2A, pois cada aresta une dois vértices:
\sum_{\text{vértices }v}(\#\text{ arestas em }v)=2A.é
E cada vértice tem grau (número de arestas incidentes) pelo menos 3, logo
2A \;=\;\sum_{v}(\#\text{ arestas em }v)\;\ge\;3V \quad\Longrightarrow\quad V\le \tfrac{2A}{3}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de Euler F+V=A+2. Substituímos V\le \tfrac{2A}{3}:
F + \frac{2A}{3} \;\ge\; F + V \;=\; A + 2 \quad\Longrightarrow\quad F + \frac{2A}{3} \;\ge\; A + 2.
Multiplicando tudo por 3,
3F + 2A \;\ge\; 3A + 6 \quad\Longrightarrow\quad 3F \;\ge\; A + 6 \quad\Longrightarrow\quad A + 6 \le 3F,
que é a primeira desigualdade pedida.

Resposta

Mostramos que
A + 6 \le 3F \quad\text{e}\quad 3F \le 2A,
como queria o enunciado.

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