Demonstre que os números
, das faces, vértices e arestas de um poliedro qualquer estão limitados por:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para provar que, num poliedro qualquer com
faces,
vértices e
arestas, valem as desigualdades
Os ingredientes principais são a fórmula de Euler
e o fato de que cada face tem pelo menos 3 arestas, assim como cada vértice toca pelo menos 3 arestas. A partir daí vamos usar o “lema do aperto de mãos” tanto entre faces e arestas quanto entre vértices e arestas.
Passo 2
Contagem de incidências face–aresta. Se somamos, face a face, o número de arestas de cada face, obtemos exatamente duas vezes
, pois cada aresta pertence a duas faces. Em símbolos:
Como cada face tem no mínimo 3 arestas,
Isolando
, vem
que é a segunda desigualdade pedida.
Passo 3
Contagem de incidências vértice–aresta. De modo análogo, somando o número de arestas que incidem em cada vértice dá também
, pois cada aresta une dois vértices:
E cada vértice tem grau (número de arestas incidentes) pelo menos 3, logo
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de Euler
. Substituímos
:
Multiplicando tudo por 3,
que é a primeira desigualdade pedida.
Resposta
Mostramos que
como queria o enunciado.