Demonstre o parâmetro de rede de uma estrutura CCC e CFC . Demonstre o número de átomos contidos em cada célula. Demonstre o fator de empacotamento das duas células.

Passo 1

O enunciado pede, para as estruturas CCC (corpo–centrada, ou bcc) e CFC (face–centrada, ou fcc), três coisas:
  1. Explicar a relação entre parâmetro de rede a e raio atômico R.
  2. Calcular o número de átomos por célula unitária.
  3. Determinar o fator de empacotamento de cada célula.

Passo 2

Na estrutura bcc, os átomos tocam-se ao longo da diagonal do cubo. Essa diagonal tem comprimento raiz3,a e abriga dois raios na aresta mais o diâmetro do átomo central, totalizando 4R. Logo,
raiz3,a = 4R
e assim
a = 4Rraiz3

Passo 3

Para bcc, cada célula tem
– 8 átomos nos vértices, cada um compartilhado por 8 células Rightarrow 8times18 = 1,
– 1 átomo totalmente dentro (no centro do cubo) Rightarrow 1.
Total de átomos por célula: 1+1=2.

Passo 4

O fator de empacotamento é a fração do volume da célula ocupada pelos átomos:
APFrm bcc =2;times;43pi R^3a^3 =2;times;43pi R^3l(tfrac4Rraiz3r)^3 =8pi R^3/3tfrac64R^33raiz3 =piraiz38 approx0,68

Passo 5

Na estrutura fcc, os átomos tocam-se ao longo da diagonal de cada face. Essa diagonal mede raiz2,a e corresponde a dois diâmetros atômicos 4R. Logo,
raiz2,a = 4R
e assim
a = 4Rraiz2 = 2raiz2,R

Passo 6

Para fcc, cada célula tem
– 8 átomos nos vértices, cada um compartilhado por 8 células Rightarrow 8times18 = 1,
– 6 átomos no centro de faces, cada um compartilhado por 2 células Rightarrow 6timestfrac12 = 3.
Total de átomos por célula: 1+3=4.

Passo 7

O fator de empacotamento para fcc é
APFrm fcc =4;times;43pi R^3a^3 =16pi R^3/3l(2raiz2,Rr)^3 =16pi R^3/316raiz2,R^3 =pi3raiz2 approx0,74

Resposta

bcc:
a=4Rraiz3, 2 átomos por célula, APF=piraiz38approx0,68.
fcc:
a=2raiz2,R, 4 átomos por célula, APF=pi3raiz2approx0,74.

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