Demonstre que, em qualquer poliedro convexo, é par o número de faces que têm número ímpar de lados.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, em qualquer poliedro convexo, o número de faces com número ímpar de lados é par. Para isso, vamos usar a contagem de incidências entre faces e arestas e um argumento de paridade.
Passo 2
Em um poliedro convexo cada aresta pertence exatamente a duas faces distintas. Se denotarmos por
o conjunto de faces, e para cada face
definirmos
como o número de lados (arestas) dessa face, então cada aresta contribui com duas contagens na soma de todos os
. Assim,
onde
é o número de arestas do poliedro.
Passo 3
Como o lado direito
é um número par, segue que
Passo 4
Na soma
, cada face com
par contribui com
e cada face com
ímpar contribui com
. Logo,
Como
, o número de faces com número ímpar de lados é par.
Resposta
O número de faces com número ímpar de lados em qualquer poliedro convexo é par.