Demonstre que, em qualquer poliedro convexo, é par o número de faces que têm número ímpar de lados.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, em qualquer poliedro convexo, o número de faces com número ímpar de lados é par. Para isso, vamos usar a contagem de incidências entre faces e arestas e um argumento de paridade.

Passo 2

Em um poliedro convexo cada aresta pertence exatamente a duas faces distintas. Se denotarmos por F o conjunto de faces, e para cada face f\in F definirmos r_f como o número de lados (arestas) dessa face, então cada aresta contribui com duas contagens na soma de todos os r_f. Assim,
\sum_{f\in F} r_f \;=\; 2E,
onde E é o número de arestas do poliedro.

Passo 3

Como o lado direito 2E é um número par, segue que
\sum_{f\in F} r_f \equiv 0 \pmod{2}.

Passo 4

Na soma \sum_{f\in F} r_f, cada face com r_f par contribui com 0\pmod2 e cada face com r_f ímpar contribui com 1\pmod2. Logo,
\sum_{f\in F} r_f \equiv (\text{número de faces com \(r_f\) ímpar}) \pmod{2}.úí
Como \sum_{f\in F} r_f \equiv 0\pmod2, o número de faces com número ímpar de lados é par.

Resposta

O número de faces com número ímpar de lados em qualquer poliedro convexo é par.

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