Demonstre que em qualquer poliedro convexo vale a relação:
2 F=4+V_{3}+2 V_{4}+3 V_{5}+4 V_{6}+5 V_{7}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, em um poliedro convexo, a relação entre o número de faces F e a distribuição dos graus dos vértices. Aqui usamos dois resultados clássicos:
  1. A soma dos graus de todos os vértices é igual a 2E, onde E é o número de arestas.
  2. A fórmula de Euler para poliedros convexos:
V - E + F = 2,
onde V é o número total de vértices.

Passo 2

Seja V_k o número de vértices de grau k (isto é, que se encontram em k arestas). Então
V = \sum_{k\ge3} V_k
e, pela soma dos graus,
\sum_{k\ge3} k\,V_k = 2E.

Passo 3

Da fórmula de Euler temos
F = 2 + E - V.

Passo 4

Multiplicando por 2 a expressão anterior, obtém-se
2F = 4 + 2E - 2V.
Agora substituímos 2E = \sum_{k\ge3}k\,V_k e 2V = 2\sum_{k\ge3}V_k:
2F = 4 + \sum_{k\ge3}k\,V_k \;-\; 2\sum_{k\ge3}V_k = 4 + \sum_{k\ge3}(k-2)\,V_k.
Distribuindo os termos para k=3,4,5,\dots, resulta
2F = 4 + 1\cdot V_{3} + 2\cdot V_{4} + 3\cdot V_{5} + 4\cdot V_{6} + 5\cdot V_{7} + \cdots.

Resposta

2F = 4 + V_{3} + 2\,V_{4} + 3\,V_{5} + 4\,V_{6} + 5\,V_{7} + \cdots.

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