Demonstre que em qualquer poliedro convexo vale a relação:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, em um poliedro convexo, a relação entre o número de faces
e a distribuição dos graus dos vértices. Aqui usamos dois resultados clássicos:
- A soma dos graus de todos os vértices é igual a
, onde é o número de arestas. - A fórmula de Euler para poliedros convexos:
onde
é o número total de vértices.
Passo 2
Seja
o número de vértices de grau
(isto é, que se encontram em
arestas). Então
e, pela soma dos graus,
Passo 3
Da fórmula de Euler temos
Passo 4
Multiplicando por 2 a expressão anterior, obtém-se
Agora substituímos
e
:
Distribuindo os termos para
, resulta