Demonstre que em regime estático, para meios homogêneos e sem cargas estáticas, podemos obter
a partir da equação
.
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar que, em regime estático, para meios homogêneos e sem cargas estáticas, a igualdade
pode ser obtida a partir da equação
.
Informações dadas (condições do problema):
- Regime estático: campos independentes do tempo (todas as derivadas temporais são nulas).
- Meios homogêneos: parâmetros materiais (por exemplo a permissividade elétrica) são constantes no espaço.
- Sem cargas estáticas: densidade de carga livre
. - Equação fornecida:
.
O que temos disponível para usar (leis relevantes que aparecem tipicamente nesse contexto):
- Forma geral da Lei de Ampère-Maxwell:
. - Identidade vetorial:
para qualquer campo vetorial . - Equação da continuidade (conservação de carga):
. - Lei de Gauss (diferencial) para o campo deslocamento elétrico:
.
Passo 2
Lembrando a forma geral da Lei de Ampère-Maxwell e explicando os símbolos:
Aqui:
-
é o campo magnético (intensidade do campo magnético). -
é a densidade de corrente elétrica livre. -
é o vetor deslocamento elétrico (campo de indução elétrica). -
é a corrente de deslocamento (termo de Maxwell que aparece quando varia no tempo).
Em regime estático, por definição, os campos não dependem do tempo, então
Portanto a forma geral reduz-se exatamente à equação que o enunciado dá:
Passo 3
Aplicar a divergência em ambos os lados da igualdade
. Ou seja, calcular
e
:
Agora usar a identidade vetorial fundamental: para qualquer campo vetorial
vale
Intuição rápida dessa identidade: a divergência do rotacional envolve derivadas mistas que se cancelam (operações parciais comutam), portanto dá zero.
Aplicando essa identidade ao lado esquerdo:
Passo 4
Interpretando
com a equação da continuidade:
onde
é a densidade de carga total (aqui interessa a densidade de carga livre
quando usamos
). Em regime estático temos
, então a equação da continuidade já exige
. Isso mostra consistência: a igualdade obtida no passo anterior não é contraditória — é exatamente o que a conservação de carga exige no caso estático.
Passo 5
Trazer a Lei de Gauss no formato diferencial, que relaciona
com a densidade de carga livre:
Explicando símbolos:
-
é o deslocamento elétrico. -
é a densidade de carga livre (cargas não ligadas às polarizações do meio).
Essa é a equação que conecta o campo elétrico (através de
) às cargas livres presentes no meio.
Passo 6
Usar a hipótese do enunciado “sem cargas estáticas”, que significa que não há cargas livres presentes no volume considerado. Em termos matemáticos:
Substituindo isso na Lei de Gauss diferencial:
Pronto: a igualdade
foi obtida, usando as leis que conectam
, a identidade
, a continuidade de carga e a Lei de Gauss, junto com as hipóteses de regime estático e ausência de cargas livres.
Passo 7
Comentário didático e papel da homogeneidade do meio:
- A homogeneidade (permissividade
constante) não foi estritamente necessária para concluir a partir de : a Lei de Gauss já dá independentemente de ser constante ou não. - Onde a homogeneidade ajuda é se quiser traduzir essa condição para o campo elétrico
: em meios lineares homogêneos com constante, então
e
implica
. Se o meio fosse não-homogêneo (
), então
não implica diretamente
, porque apareceria um termo com
.
Passo 8
Resumo da cadeia lógica (passo a passo curto):
- Partir de
(válida no caso estático). - Aplicar divergência e usar
→ . - Pela continuidade e regime estático obtemos consistência com
. - Usando a Lei de Gauss
e a hipótese obtemos .