Demonstre que em regime estático, para meios homogêneos e sem cargas estáticas, podemos obter \operatorname{div} \mathbf{D}=0 a partir da equação \operatorname{rot} \mathbf{H}=\mathbf{J}.

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar que, em regime estático, para meios homogêneos e sem cargas estáticas, a igualdade \operatorname{div}\mathbf{D}=0 pode ser obtida a partir da equação \operatorname{rot}\mathbf{H}=\mathbf{J}.
Informações dadas (condições do problema):
  • Regime estático: campos independentes do tempo (todas as derivadas temporais são nulas).
  • Meios homogêneos: parâmetros materiais (por exemplo a permissividade elétrica) são constantes no espaço.
  • Sem cargas estáticas: densidade de carga livre \rho_{\text{free}}=0.
  • Equação fornecida: \operatorname{rot}\mathbf{H}=\mathbf{J}.
O que temos disponível para usar (leis relevantes que aparecem tipicamente nesse contexto):
  • Forma geral da Lei de Ampère-Maxwell: \operatorname{rot}\mathbf{H}=\mathbf{J}+\dfrac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.
  • Identidade vetorial: \operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{A})=0 para qualquer campo vetorial \mathbf{A}.
  • Equação da continuidade (conservação de carga): \operatorname{div}\mathbf{J}+\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=0.
  • Lei de Gauss (diferencial) para o campo deslocamento elétrico: \operatorname{div}\mathbf{D}=\rho_{\text{free}}.

Passo 2

Lembrando a forma geral da Lei de Ampère-Maxwell e explicando os símbolos:
\operatorname{rot}\mathbf{H}=\mathbf{J}+\dfrac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.
Aqui:
  • \mathbf{H} é o campo magnético (intensidade do campo magnético).
  • \mathbf{J} é a densidade de corrente elétrica livre.
  • \mathbf{D} é o vetor deslocamento elétrico (campo de indução elétrica).
  • \dfrac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} é a corrente de deslocamento (termo de Maxwell que aparece quando \mathbf{D} varia no tempo).
Em regime estático, por definição, os campos não dependem do tempo, então
\dfrac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=0.
Portanto a forma geral reduz-se exatamente à equação que o enunciado dá:
\operatorname{rot}\mathbf{H}=\mathbf{J}.

Passo 3

Aplicar a divergência em ambos os lados da igualdade \operatorname{rot}\mathbf{H}=\mathbf{J}. Ou seja, calcular \operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{H}) e \operatorname{div}\mathbf{J}:
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{H})=\operatorname{div}\mathbf{J}.
Agora usar a identidade vetorial fundamental: para qualquer campo vetorial \mathbf{A} vale
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{A})=0.
Intuição rápida dessa identidade: a divergência do rotacional envolve derivadas mistas que se cancelam (operações parciais comutam), portanto dá zero.
Aplicando essa identidade ao lado esquerdo:
0=\operatorname{div}\mathbf{J}.

Passo 4

Interpretando \operatorname{div}\mathbf{J}=0 com a equação da continuidade:
\operatorname{div}\mathbf{J}+\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=0,
onde \rho é a densidade de carga total (aqui interessa a densidade de carga livre \rho_{\text{free}} quando usamos \mathbf{D}). Em regime estático temos \dfrac{\partial \rho}{\partial t}=0, então a equação da continuidade já exige \operatorname{div}\mathbf{J}=0. Isso mostra consistência: a igualdade obtida no passo anterior não é contraditória — é exatamente o que a conservação de carga exige no caso estático.

Passo 5

Trazer a Lei de Gauss no formato diferencial, que relaciona \mathbf{D} com a densidade de carga livre:
\operatorname{div}\mathbf{D}=\rho_{\text{free}}.
Explicando símbolos:
  • \mathbf{D} é o deslocamento elétrico.
  • \rho_{\text{free}} é a densidade de carga livre (cargas não ligadas às polarizações do meio).
Essa é a equação que conecta o campo elétrico (através de \mathbf{D}) às cargas livres presentes no meio.

Passo 6

Usar a hipótese do enunciado “sem cargas estáticas”, que significa que não há cargas livres presentes no volume considerado. Em termos matemáticos:
\rho_{\text{free}}=0.
Substituindo isso na Lei de Gauss diferencial:
\operatorname{div}\mathbf{D}=0.
Pronto: a igualdade \operatorname{div}\mathbf{D}=0 foi obtida, usando as leis que conectam \operatorname{rot}\mathbf{H}=\mathbf{J}, a identidade \operatorname{div}(\operatorname{rot}\bullet)=0, a continuidade de carga e a Lei de Gauss, junto com as hipóteses de regime estático e ausência de cargas livres.

Passo 7

Comentário didático e papel da homogeneidade do meio:
  • A homogeneidade (permissividade \varepsilon constante) não foi estritamente necessária para concluir \operatorname{div}\mathbf{D}=0 a partir de \rho_{\text{free}}=0: a Lei de Gauss já dá \operatorname{div}\mathbf{D}=0 independentemente de \varepsilon ser constante ou não.
  • Onde a homogeneidade ajuda é se quiser traduzir essa condição para o campo elétrico \mathbf{E}: em meios lineares homogêneos \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} com \varepsilon constante, então
\operatorname{div}\mathbf{D}=\varepsilon\,\operatorname{div}\mathbf{E},
e \operatorname{div}\mathbf{D}=0 implica \operatorname{div}\mathbf{E}=0. Se o meio fosse não-homogêneo ( \varepsilon=\varepsilon(\mathbf{r})), então \operatorname{div}\mathbf{D}=0 não implica diretamente \operatorname{div}\mathbf{E}=0, porque apareceria um termo com \nabla\varepsilon\cdot\mathbf{E}.

Passo 8

Resumo da cadeia lógica (passo a passo curto):
  • Partir de \operatorname{rot}\mathbf{H}=\mathbf{J} (válida no caso estático).
  • Aplicar divergência e usar \operatorname{div}(\operatorname{rot}\bullet)=0 \operatorname{div}\mathbf{J}=0.
  • Pela continuidade e regime estático obtemos consistência com \partial_t\rho=0.
  • Usando a Lei de Gauss \operatorname{div}\mathbf{D}=\rho_{\text{free}} e a hipótese \rho_{\text{free}}=0 obtemos \operatorname{div}\mathbf{D}=0.

Resposta

\operatorname{div}\mathbf{D}=0

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