Compare os módulos de \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} e \mathbf{J} para as frequências de 60 \mathrm{~Hz}, 1 \mathrm{kHz}, 1 \mathrm{MHz} e 1 GHz para o cobre \left(\sigma=5.8 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \varepsilon=\varepsilon_{0}\right), chumbo \left(\sigma=0.5 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \varepsilon=\varepsilon_{0}\right), água do mar (\sigma \cong 4 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \left.\varepsilon=81 \varepsilon_{0}\right) e terra \left(\sigma=10^{-3} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \varepsilon=10 \varepsilon_{0}\right).
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
Pedido: comparar os módulos de \dfrac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} e \mathbf{J} para quatro frequências e quatro materiais; em outras palavras, avaliar qual termo (corrente de deslocamento ou corrente de condução) domina em cada caso.
Fórmulas básicas e ideia de comparação (explicação didática).
Definições:
\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}, onde \varepsilon é a permissividade do meio e \mathbf{E} o campo elétrico.
A densidade de corrente de condução é \mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}.
Para campos harmônicos no tempo com dependência \mathrm{e}^{j\omega t} (caso usual em análise de frequência), tem-se\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \varepsilon (j\omega)\mathbf{E}.Em módulo (valor absoluto),\left|\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right| = \omega \varepsilon |\mathbf{E}|.E|\mathbf{J}| = \sigma |\mathbf{E}|.
Portanto a comparação reduz-se ao quociente adimensionalR \equiv \frac{\left|\dfrac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right|}{|\mathbf{J}|} = \frac{\omega\varepsilon}{\sigma}.
Se R\gg1 a corrente de deslocamento domina.
Se R\ll1 a corrente de condução (ohmica) domina.
Aqui \omega=2\pi f. Vou calcular R para cada combinação (material, frequência). Isso é rápido na prova: calcular \omega\varepsilon e dividir por \sigma.
Passo 3
Cálculo de \omega para cada frequência e fator base \omega\varepsilon_{0}.
É útil calcular o produto \omega\varepsilon_{0} que aparece para meios com \varepsilon=\varepsilon_{0}:2\pi\varepsilon_{0} = 5{,}566367\times10^{-11}\\ \mathrm{(s\cdot S/m)/Hz},daí\omega\varepsilon_{0} = (2\pi\varepsilon_{0})\,f \approx 5{,}566367\times10^{-11}\,f.Assim, numericamente:\omega\varepsilon_{0}\Big|_{60\\ \mathrm{Hz}} \approx 3{,}340\times10^{-9}\\ \mathrm{S/m},
Dividindo por \sigma=4\\ \mathrm{S/m}:R_{\text{água do mar}}\Big|_{60\\ \mathrm{Hz}} \approx \frac{2{,}706\times10^{-7}}{4} \approx 6{,}76\times10^{-8},á
R_{\text{água do mar}}\Big|_{1\\ \mathrm{kHz}} \approx \frac{4{,}509\times10^{-6}}{4} \approx 1{,}13\times10^{-6},á
R_{\text{água do mar}}\Big|_{1\\ \mathrm{MHz}} \approx \frac{4{,}509\times10^{-3}}{4} \approx 1{,}13\times10^{-3},á
R_{\text{água do mar}}\Big|_{1\\ \mathrm{GHz}} \approx \frac{4{,}509}{4} \approx 1{,}13.á
Interpretação: para 60\\ \mathrm{Hz},\\\ 1\\ \mathrm{kHz},\\\ 1\\ \mathrm{MHz} tem R\ll1 (condução domina); em 1\\ \mathrm{GHz}R\gtrsim1 (corrente de deslocamento passa a ser comparável e ligeiramente dominante).
Passo 8
Cálculos numéricos para a terra (\sigma=10^{-3}\\ \mathrm{S/m},\\ \varepsilon_{r}=10).
Interpretação: em 60\\ \mathrm{Hz} e 1\\ \mathrm{kHz} o condutor (corrente de condução) domina; em 1\\ \mathrm{MHz}R\approx0{,}56 (valores comparáveis, condução ainda maior, mas já na mesma ordem de grandeza); em 1\\ \mathrm{GHz} deslocamento domina fortemente.
Passo 9
No-exame: fórmula de frequência de corte / cruzamento (dica útil).
A frequência onde os termos são iguais (R=1) satisfaz\omega_{c}\varepsilon = \sigma \quad\Rightarrow\quad f_{c}=\frac{\sigma}{2\pi\varepsilon} = \frac{\sigma}{2\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}.
Interpretação rápida: bons condutores têm f_c absurdamente alta (logo, condução domina em todo o espectro usual); meios com alta permissividade relativa e condutividade moderada (água do mar) têm f_c da ordem de centenas de MHz a GHz; meios pobres condutores (terra) têm f_c na faixa de MHz.