Compare os módulos de \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} e \mathbf{J} para as frequências de 60 \mathrm{~Hz}, 1 \mathrm{kHz}, 1 \mathrm{MHz} e 1 GHz para o cobre \left(\sigma=5.8 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \varepsilon=\varepsilon_{0}\right), chumbo \left(\sigma=0.5 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \varepsilon=\varepsilon_{0}\right), água do mar (\sigma \cong 4 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \left.\varepsilon=81 \varepsilon_{0}\right) e terra \left(\sigma=10^{-3} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \varepsilon=10 \varepsilon_{0}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: comparar os módulos de \dfrac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} e \mathbf{J} para quatro frequências e quatro materiais; em outras palavras, avaliar qual termo (corrente de deslocamento ou corrente de condução) domina em cada caso.
  • Frequências: 60\\ \mathrm{Hz},\\\ 1\\ \mathrm{kHz},\\\ 1\\ \mathrm{MHz},\\\ 1\\ \mathrm{GHz}.
  • Constantes e propriedades dos materiais (dados do enunciado):
    • Permitividade do vácuo: \varepsilon_{0} = 8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
    • Cobre: \sigma = 5,8\times10^{7}\\ \mathrm{S/m},\\ \varepsilon = \varepsilon_{0}.
    • Chumbo: \sigma = 0,5\times10^{7}\\ \mathrm{S/m} = 5,0\times10^{6}\\ \mathrm{S/m},\\ \varepsilon = \varepsilon_{0}.
    • Água do mar: \sigma \approx 4\\ \mathrm{S/m},\\ \varepsilon = 81\,\varepsilon_{0}.
    • Terra: \sigma = 10^{-3}\\ \mathrm{S/m},\\ \varepsilon = 10\,\varepsilon_{0}.

Passo 2

Fórmulas básicas e ideia de comparação (explicação didática).
  • Definições:
    • \mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}, onde \varepsilon é a permissividade do meio e \mathbf{E} o campo elétrico.
    • A densidade de corrente de condução é \mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}.
  • Para campos harmônicos no tempo com dependência \mathrm{e}^{j\omega t} (caso usual em análise de frequência), tem-se \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \varepsilon (j\omega)\mathbf{E}.Em módulo (valor absoluto), \left|\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right| = \omega \varepsilon |\mathbf{E}|.E |\mathbf{J}| = \sigma |\mathbf{E}|.
  • Portanto a comparação reduz-se ao quociente adimensional R \equiv \frac{\left|\dfrac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right|}{|\mathbf{J}|} = \frac{\omega\varepsilon}{\sigma}.
    • Se R\gg1 a corrente de deslocamento domina.
    • Se R\ll1 a corrente de condução (ohmica) domina.
  • Aqui \omega=2\pi f. Vou calcular R para cada combinação (material, frequência). Isso é rápido na prova: calcular \omega\varepsilon e dividir por \sigma.

Passo 3

Cálculo de \omega para cada frequência e fator base \omega\varepsilon_{0}.
  • \omega = 2\pi f.
  • Valores numéricos aproximados: \omega(60\\ \mathrm{Hz}) = 2\pi\cdot60 \approx 377\\ \mathrm{rad/s},
\omega(1\\ \mathrm{kHz}) = 2\pi\cdot10^{3} \approx 6{,}283\times10^{3}\\ \mathrm{rad/s},
\omega(1\\ \mathrm{MHz}) = 2\pi\cdot10^{6} \approx 6{,}283\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s},
\omega(1\\ \mathrm{GHz}) = 2\pi\cdot10^{9} \approx 6{,}283\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
  • É útil calcular o produto \omega\varepsilon_{0} que aparece para meios com \varepsilon=\varepsilon_{0}: 2\pi\varepsilon_{0} = 5{,}566367\times10^{-11}\\ \mathrm{(s\cdot S/m)/Hz},daí \omega\varepsilon_{0} = (2\pi\varepsilon_{0})\,f \approx 5{,}566367\times10^{-11}\,f.Assim, numericamente: \omega\varepsilon_{0}\Big|_{60\\ \mathrm{Hz}} \approx 3{,}340\times10^{-9}\\ \mathrm{S/m},
\omega\varepsilon_{0}\Big|_{1\\ \mathrm{kHz}} \approx 5{,}566\times10^{-8}\\ \mathrm{S/m},
\omega\varepsilon_{0}\Big|_{1\\ \mathrm{MHz}} \approx 5{,}566\times10^{-5}\\ \mathrm{S/m},
\omega\varepsilon_{0}\Big|_{1\\ \mathrm{GHz}} \approx 5{,}566\times10^{-2}\\ \mathrm{S/m}.

Passo 4

Fórmula de cálculo prático e interpretação rápida (como fazer na prova).
  • Para cada material: \omega\varepsilon = \omega\varepsilon_{0}\varepsilon_{r} (onde \varepsilon_{r} é a permissividade relativa do meio).
  • O quociente será R=\frac{\omega\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}{\sigma}.
  • Procedimento na prova:
    1. pegar \varepsilon_{r} do material (1 para cobre e chumbo, 81 para água do mar, 10 para terra).
    2. multiplicar \omega\varepsilon_{0} (valores do Passo 3) por \varepsilon_{r}.
    3. dividir pelo \sigma do material.
    4. interpretar R comparando com 1.

Passo 5

Cálculos numéricos para o cobre ( \sigma=5,8\times10^{7}\\ \mathrm{S/m},\\ \varepsilon_{r}=1).
  • Usando \varepsilon_{r}=1, temos \omega\varepsilon=\omega\varepsilon_{0} (valores do Passo 3). Assim R_{\text{Cu}}\Big|_{60\\ \mathrm{Hz}} \approx \frac{3{,}340\times10^{-9}}{5{,}8\times10^{7}} \approx 5{,}76\times10^{-17},
R_{\text{Cu}}\Big|_{1\\ \mathrm{kHz}} \approx \frac{5{,}566\times10^{-8}}{5{,}8\times10^{7}} \approx 9{,}60\times10^{-16},
R_{\text{Cu}}\Big|_{1\\ \mathrm{MHz}} \approx \frac{5{,}566\times10^{-5}}{5{,}8\times10^{7}} \approx 9{,}60\times10^{-13},
R_{\text{Cu}}\Big|_{1\\ \mathrm{GHz}} \approx \frac{5{,}566\times10^{-2}}{5{,}8\times10^{7}} \approx 9{,}60\times10^{-10}.
  • Interpretação: R\ll1 em todos os casos → a corrente de condução domina fortemente (deslocamento desprezível).

Passo 6

Cálculos numéricos para o chumbo ( \sigma=5{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{S/m},\\ \varepsilon_{r}=1).
R_{\text{Pb}}\Big|_{60\\ \mathrm{Hz}} \approx \frac{3{,}340\times10^{-9}}{5{,}0\times10^{6}} \approx 6{,}68\times10^{-16},
R_{\text{Pb}}\Big|_{1\\ \mathrm{kHz}} \approx \frac{5{,}566\times10^{-8}}{5{,}0\times10^{6}} \approx 1{,}11\times10^{-14},
R_{\text{Pb}}\Big|_{1\\ \mathrm{MHz}} \approx \frac{5{,}566\times10^{-5}}{5{,}0\times10^{6}} \approx 1{,}11\times10^{-11},
R_{\text{Pb}}\Big|_{1\\ \mathrm{GHz}} \approx \frac{5{,}566\times10^{-2}}{5{,}0\times10^{6}} \approx 1{,}11\times10^{-8}.
  • Interpretação: novamente R\ll1 em todos os casos → corrente de condução domina.

Passo 7

Cálculos numéricos para água do mar ( \sigma\approx4\\ \mathrm{S/m},\\ \varepsilon_{r}=81).
  • Primeiro \varepsilon = 81\varepsilon_{0}, então \omega\varepsilon = 81\cdot(\omega\varepsilon_{0}).
  • Valores: \omega\varepsilon\Big|_{60\\ \mathrm{Hz}} \approx 81\cdot3{,}340\times10^{-9} \approx 2{,}706\times10^{-7}\\ \mathrm{S/m},
\omega\varepsilon\Big|_{1\\ \mathrm{kHz}} \approx 81\cdot5{,}566\times10^{-8} \approx 4{,}509\times10^{-6}\\ \mathrm{S/m},
\omega\varepsilon\Big|_{1\\ \mathrm{MHz}} \approx 81\cdot5{,}566\times10^{-5} \approx 4{,}509\times10^{-3}\\ \mathrm{S/m},
\omega\varepsilon\Big|_{1\\ \mathrm{GHz}} \approx 81\cdot5{,}566\times10^{-2} \approx 4{,}509\\ \mathrm{S/m}.
  • Dividindo por \sigma=4\\ \mathrm{S/m}: R_{\text{água do mar}}\Big|_{60\\ \mathrm{Hz}} \approx \frac{2{,}706\times10^{-7}}{4} \approx 6{,}76\times10^{-8},á
R_{\text{água do mar}}\Big|_{1\\ \mathrm{kHz}} \approx \frac{4{,}509\times10^{-6}}{4} \approx 1{,}13\times10^{-6},á
R_{\text{água do mar}}\Big|_{1\\ \mathrm{MHz}} \approx \frac{4{,}509\times10^{-3}}{4} \approx 1{,}13\times10^{-3},á
R_{\text{água do mar}}\Big|_{1\\ \mathrm{GHz}} \approx \frac{4{,}509}{4} \approx 1{,}13.á
  • Interpretação: para 60\\ \mathrm{Hz},\\\ 1\\ \mathrm{kHz},\\\ 1\\ \mathrm{MHz} tem R\ll1 (condução domina); em 1\\ \mathrm{GHz} R\gtrsim1 (corrente de deslocamento passa a ser comparável e ligeiramente dominante).

Passo 8

Cálculos numéricos para a terra ( \sigma=10^{-3}\\ \mathrm{S/m},\\ \varepsilon_{r}=10).
  • \omega\varepsilon = 10\cdot(\omega\varepsilon_{0}). Assim \omega\varepsilon\Big|_{60\\ \mathrm{Hz}} \approx 10\cdot3{,}340\times10^{-9} \approx 3{,}340\times10^{-8}\\ \mathrm{S/m},
\omega\varepsilon\Big|_{1\\ \mathrm{kHz}} \approx 10\cdot5{,}566\times10^{-8} \approx 5{,}566\times10^{-7}\\ \mathrm{S/m},
\omega\varepsilon\Big|_{1\\ \mathrm{MHz}} \approx 10\cdot5{,}566\times10^{-5} \approx 5{,}566\times10^{-4}\\ \mathrm{S/m},
\omega\varepsilon\Big|_{1\\ \mathrm{GHz}} \approx 10\cdot5{,}566\times10^{-2} \approx 0{,}5566\\ \mathrm{S/m}.
  • Dividindo por \sigma=10^{-3}\\ \mathrm{S/m}: R_{\text{terra}}\Big|_{60\\ \mathrm{Hz}} \approx \frac{3{,}340\times10^{-8}}{10^{-3}} \approx 3{,}34\times10^{-5},
R_{\text{terra}}\Big|_{1\\ \mathrm{kHz}} \approx \frac{5{,}566\times10^{-7}}{10^{-3}} \approx 5{,}57\times10^{-4},
R_{\text{terra}}\Big|_{1\\ \mathrm{MHz}} \approx \frac{5{,}566\times10^{-4}}{10^{-3}} \approx 5{,}57\times10^{-1},
R_{\text{terra}}\Big|_{1\\ \mathrm{GHz}} \approx \frac{0{,}5566}{10^{-3}} \approx 5{,}566\times10^{2}.
  • Interpretação: em 60\\ \mathrm{Hz} e 1\\ \mathrm{kHz} o condutor (corrente de condução) domina; em 1\\ \mathrm{MHz} R\approx0{,}56 (valores comparáveis, condução ainda maior, mas já na mesma ordem de grandeza); em 1\\ \mathrm{GHz} deslocamento domina fortemente.

Passo 9

No-exame: fórmula de frequência de corte / cruzamento (dica útil).
  • A frequência onde os termos são iguais ( R=1) satisfaz \omega_{c}\varepsilon = \sigma \quad\Rightarrow\quad f_{c}=\frac{\sigma}{2\pi\varepsilon} = \frac{\sigma}{2\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}.
  • Valores aproximados de f_{c}: f_{c,\text{Cu}} \approx \frac{5{,}8\times10^{7}}{2\pi\varepsilon_{0}} \sim 1{,}0\times10^{18}\\ \mathrm{Hz}\\ (\text{muito elevado}),
f_{c,\text{Pb}} \sim 9{,}0\times10^{16}\\ \mathrm{Hz},
f_{c,\text{água do mar}} \approx \frac{4}{2\pi\cdot81\varepsilon_{0}} \approx 8{,}9\times10^{8}\\ \mathrm{Hz}\\ (\sim 0{,}9\\ \mathrm{GHz}),á
f_{c,\text{terra}} \approx \frac{10^{-3}}{2\pi\cdot10\varepsilon_{0}} \approx 1{,}8\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}\\ (\sim 1{,}8\\ \mathrm{MHz}).
  • Interpretação rápida: bons condutores têm f_c absurdamente alta (logo, condução domina em todo o espectro usual); meios com alta permissividade relativa e condutividade moderada (água do mar) têm f_c da ordem de centenas de MHz a GHz; meios pobres condutores (terra) têm f_c na faixa de MHz.

Resposta

Cobre:
60 Hz: R\approx 5{,}76\times10^{-17} → domina \mathbf{J} (condução).
1 kHz: R\approx 9{,}60\times10^{-16} → domina \mathbf{J}.
1 MHz: R\approx 9{,}60\times10^{-13} → domina \mathbf{J}.
1 GHz: R\approx 9{,}60\times10^{-10} → domina \mathbf{J}.
Chumbo:
60 Hz: R\approx 6{,}68\times10^{-16} → domina \mathbf{J}.
1 kHz: R\approx 1{,}11\times10^{-14} → domina \mathbf{J}.
1 MHz: R\approx 1{,}11\times10^{-11} → domina \mathbf{J}.
1 GHz: R\approx 1{,}11\times10^{-8} → domina \mathbf{J}.
Água do mar:
60 Hz: R\approx 6{,}76\times10^{-8} → domina \mathbf{J}.
1 kHz: R\approx 1{,}13\times10^{-6} → domina \mathbf{J}.
1 MHz: R\approx 1{,}13\times10^{-3} → domina \mathbf{J}.
1 GHz: R\approx 1{,}13 \left|\dfrac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right| e |\mathbf{J}| são comparáveis, deslocamento ligeiramente dominante.
Terra:
60 Hz: R\approx 3{,}34\times10^{-5} → domina \mathbf{J}.
1 kHz: R\approx 5{,}57\times10^{-4} → domina \mathbf{J}.
1 MHz: R\approx 5{,}57\times10^{-1} → magnitudes comparáveis, condução ainda um pouco maior.
1 GHz: R\approx 5{,}57\times10^{2} → domina \left|\dfrac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right| (deslocamento).

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