Demonstre que, para qualquer superficie
fechada, temos
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:\n
- Pede-se demonstrar que, para qualquer superfície fechada
, vale
- Informações implícitas que vamos usar (vindas do enunciado físico):
é uma superfície fechada que envolve um volume ; é a densidade de corrente elétrica no ponto e tempo ; é o vetor deslocamento elétrico (campo ); é o elemento de área vetorial na superfície , orientado para fora do volume. - Objetivo concreto: transformar a integral de superfície dada numa integral de volume e mostrar que o integrando é zero em cada ponto, o que implica que a integral é zero.
Passo 2
Definições e conceitos que vamos usar (explicados de forma didática):\n
-
: densidade de corrente elétrica. Unidade no SI: . Intuitivamente, representa a corrente que sai através do elemento de área . -
: vetor deslocamento elétrico; sua divergência relaciona-se com a densidade de carga livre pela lei de Gauss na forma macroscópica. Unidade no SI: . -
: densidade de carga elétrica (carga por unidade de volume), unidade . -
: elemento de área vetorial na superfície fechada , com direção normal externa. - Teorema da divergência (Teorema de Gauss): para um campo vetorial
suficientemente suave definido no volume com fronteira ,
Explicação informal: o fluxo total de
através da superfície fechada é igual à soma (integral) da “taxa de geração”
dentro do volume.
Passo 3
Aplicar o Teorema da divergência à integral dada.\n
Escolho . Pelo teorema de Gauss temos
Escolho
Aqui usei a linearidade do operador divergente e da integral; nada de mágico — só regras básicas de cálculo vetorial.
Passo 4
Explicar e manipular o integrando usando linearidade da divergência.\n
A divergência da soma é a soma das divergências, e a derivada temporal pode sair da operação espacial de divergência (desde que os campos sejam regulares), portanto
A divergência da soma é a soma das divergências, e a derivada temporal pode sair da operação espacial de divergência (desde que os campos sejam regulares), portanto
Explicando passo a passo:
mede a taxa local de saída de corrente por unidade de volume;
está relacionada com a densidade de carga (próximo passo).
Passo 5
Relacionar
com a densidade de carga
(Lei de Gauss macroscópica).\n
Pela lei de Gauss no formulário macroscópico conhecemos que
Pela lei de Gauss no formulário macroscópico conhecemos que
Aqui
é a densidade de carga elétrica livre no ponto
e tempo
. Substituindo na expressão do passo anterior obtemos
Passo 6
Usar a conservação de carga (equação de continuidade) e interpretar fisicamente.\n
A conservação local da carga elétrica diz que a taxa de variação temporal da densidade de carga em um ponto mais a divergência da densidade de corrente naquele ponto é zero:
A conservação local da carga elétrica diz que a taxa de variação temporal da densidade de carga em um ponto mais a divergência da densidade de corrente naquele ponto é zero:
Interpretação física simples: se a carga em um volume está aumentando (
), então deve estar entrando corrente (
); a equação acima é exatamente essa contagem de carga local. Reorganizando,
Passo 7
Concluir que o integrando é identicamente zero e, portanto, a integral de superfície é zero.\n
Unindo o resultado do passo 5 com a equação de continuidade do passo 6 obtemos, para todo em
,
Unindo o resultado do passo 5 com a equação de continuidade do passo 6 obtemos, para todo
Assim o integrando da integral de volume do passo 3 é nulo em cada ponto do volume
. Portanto a integral de volume é zero:
Pelo passo 3 isso implica a igualdade desejada: