Demonstre que, para qualquer superficie S fechada, temos
\oint_{S}\left(\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right) \cdot d \mathbf{s}=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:\n
  • Pede-se demonstrar que, para qualquer superfície fechada S, vale
\oint_{S}\left(\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right)\cdot d\mathbf{s}=0.
  • Informações implícitas que vamos usar (vindas do enunciado físico): S é uma superfície fechada que envolve um volume V; \mathbf{J}(\mathbf{r},t) é a densidade de corrente elétrica no ponto \mathbf{r} e tempo t; \mathbf{D}(\mathbf{r},t) é o vetor deslocamento elétrico (campo \mathbf{D}); d\mathbf{s} é o elemento de área vetorial na superfície S, orientado para fora do volume.
  • Objetivo concreto: transformar a integral de superfície dada numa integral de volume e mostrar que o integrando é zero em cada ponto, o que implica que a integral é zero.

Passo 2

Definições e conceitos que vamos usar (explicados de forma didática):\n
  • \mathbf{J}(\mathbf{r},t): densidade de corrente elétrica. Unidade no SI: \mathrm{A/m^2}. Intuitivamente, \mathbf{J}\cdot d\mathbf{s} representa a corrente que sai através do elemento de área d\mathbf{s}.
  • \mathbf{D}(\mathbf{r},t): vetor deslocamento elétrico; sua divergência relaciona-se com a densidade de carga livre \rho(\mathbf{r},t) pela lei de Gauss na forma macroscópica. Unidade no SI: \mathrm{C/m^2}.
  • \rho(\mathbf{r},t): densidade de carga elétrica (carga por unidade de volume), unidade \mathrm{C/m^3}.
  • d\mathbf{s}: elemento de área vetorial na superfície fechada S, com direção normal externa.
  • Teorema da divergência (Teorema de Gauss): para um campo vetorial \mathbf{F} suficientemente suave definido no volume V com fronteira S=\partial V,
\oint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Explicação informal: o fluxo total de \mathbf{F} através da superfície fechada é igual à soma (integral) da “taxa de geração” \nabla\cdot\mathbf{F} dentro do volume.

Passo 3

Aplicar o Teorema da divergência à integral dada.\n
Escolho \mathbf{F}=\mathbf{J}+\dfrac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}. Pelo teorema de Gauss temos
\oint_{S}\left(\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right)\cdot d\mathbf{s} = \int_{V}\nabla\cdot\left(\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right)\,dV.
Aqui usei a linearidade do operador divergente e da integral; nada de mágico — só regras básicas de cálculo vetorial.

Passo 4

Explicar e manipular o integrando usando linearidade da divergência.\n
A divergência da soma é a soma das divergências, e a derivada temporal pode sair da operação espacial de divergência (desde que os campos sejam regulares), portanto
\nabla\cdot\left(\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right) = \nabla\cdot\mathbf{J}+\nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} = \nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\cdot\mathbf{D}\right).
Explicando passo a passo: \nabla\cdot\mathbf{J} mede a taxa local de saída de corrente por unidade de volume; \nabla\cdot\mathbf{D} está relacionada com a densidade de carga (próximo passo).

Passo 5

Relacionar \nabla\cdot\mathbf{D} com a densidade de carga \rho (Lei de Gauss macroscópica).\n
Pela lei de Gauss no formulário macroscópico conhecemos que
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho.
Aqui \rho(\mathbf{r},t) é a densidade de carga elétrica livre no ponto \mathbf{r} e tempo t. Substituindo na expressão do passo anterior obtemos
\nabla\cdot\left(\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right) = \nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}.

Passo 6

Usar a conservação de carga (equação de continuidade) e interpretar fisicamente.\n
A conservação local da carga elétrica diz que a taxa de variação temporal da densidade de carga em um ponto mais a divergência da densidade de corrente naquele ponto é zero:
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{J}=0.
Interpretação física simples: se a carga em um volume está aumentando ( \partial\rho/\partial t>0), então deve estar entrando corrente ( \nabla\cdot\mathbf{J}<0); a equação acima é exatamente essa contagem de carga local. Reorganizando,
\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0.

Passo 7

Concluir que o integrando é identicamente zero e, portanto, a integral de superfície é zero.\n
Unindo o resultado do passo 5 com a equação de continuidade do passo 6 obtemos, para todo \mathbf{r} em V,
\nabla\cdot\left(\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right) = \nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0.
Assim o integrando da integral de volume do passo 3 é nulo em cada ponto do volume V. Portanto a integral de volume é zero:
\int_{V}\nabla\cdot\left(\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right)\,dV=0.
Pelo passo 3 isso implica a igualdade desejada:
\oint_{S}\left(\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right)\cdot d\mathbf{s}=0.

Resposta

0

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