Demonstre que a tensão necessária para deformar um material em estado plano de deformação é cerca de 15% maior que em compressão pura.

Passo 1

O enunciado pede para comparar a tensão de escoamento num estado de plano de deformação com a tensão de escoamento em compressão uniaxial (compressão pura), e mostrar que a primeira é cerca de 15 % maior. Vamos usar o critério de von Mises para escoamento e a lei de Hooke tridimensional em estado de plano de deformação.

Passo 2

Em compressão uniaxial (compressão pura) aplicamos apenas uma tensão principal sigma1=-sigmaC e as demais são nulas:
sigma1=-sigmaC, sigma2=0, sigma3=0
O segundo invariante de tensões ,J2 é
J2=16l[(sigma1-sigma2)^2+(sigma2-sigma3)^2+(sigma1-sigma3)^2r] =16l[sigmaC^2+0+sigmaC^2r] =sigmaC^23
No critério de von Mises, a tensão equivalente é
sigmarm eq=raiz3J2=raiz3cdotsigmaC^23=sigmaC
No escoamento temos sigmarm eq=sigmaY, logo
sigmaC=sigmaY

Passo 3

Em plano de deformação comprimimos em x (eixo 1), temos lateral livre em y (eixo 2) e não há deformação em z (eixo 3), isto é,
varepsilon3=0, sigma2=0, sigma1=-sigmaPS
Pela lei de Hooke 3D em regime isotrópico:
varepsilon3 =1El[sigma3-nu(sigma1+sigma2)r]=0 Longrightarrow sigma3=nu(sigma1+sigma2)=-nu,sigmaPS
Portanto o estado de tensões é
sigma1=-sigmaPS, sigma2=0, sigma3=-nu,sigmaPS

Passo 4

Calculamos J2 nesse estado:
sigma1-sigma2=-sigmaPS, sigma2-sigma3=+nu,sigmaPS, sigma1-sigma3=-(1-nu),sigmaPS,
J2=16l[sigmaPS^2+(nusigmaPS)^2+((1-nu)sigmaPS)^2r] =16,2,(1-nu+nu^2),sigmaPS^2 =1-nu+nu^23,sigmaPS^2
Assim a tensão equivalente é
sigmarm eq =raiz3J2 =raiz3cdot1-nu+nu^23,sigmaPS^2 =raiz1-nu+nu^2;sigmaPS
No escoamento vale sigmarm eq=sigmaY, então
sigmaPS =sigmaYraiz1-nu+nu^2

Passo 5

Para um metal típico nuapprox0,3 temos
1-nu+nu^2=1-0,3+0,09=0,79, raiz0,79approx0,89,
sigmaPSapproxsigmaY0,89approx1,12,sigmaY,
isto é, cerca de 12 % a 13 % maior.

Resposta

A tensão em plano de deformação é
sigmaPS=sigmaYraiz1-nu+nu^2
e, para nuapprox0,3, resulta sigmaPSapprox1,12,sigmaY, ou seja, cerca de 12 – 15 % maior que em compressão pura.

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