Demonstre usando indução: para todo n ≥ 1,
1 / (2 n) <= (1 * 3 * ... * (2 n - 1)) / (2 * 4 * ... * (2 n)) <= 1 / raiz(n + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar, usando indução matemática, que para todo número natural , a seguinte desigualdade vale:
Aqui, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la para provar desigualdades envolvendo produtos de números ímpares e pares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a desigualdade funciona para o caso base, que é . A indução matemática exige que a gente prove que a afirmação é verdadeira para antes de assumir que é válida para algum e, então, provar para .

Passo 3

Para , temos:
E o lado esquerdo do produto fica:
O lado direito do produto também é , e . Então, temos:
Que é verdade. Assim, o caso base está confirmado.

Passo 4

Agora, vamos assumir que a desigualdade vale para algum , ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução. Precisamos usar isso para provar que a desigualdade também vale para .

Passo 5

Para , o produto fica:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, multiplicando ambos os lados por , temos:
Precisamos agora mostrar que:

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Isso pode ser simplificado para:
Observando que , a desigualdade se mantém verdadeira para todo .

Resposta

Assim, por indução matemática, mostramos que para todo ,
é válida.

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