Demonstre usando indução: para todo n ≥ 1, Se x1, x2, ..., xn são números reais então
|x1 + x2 + ... + xn| <= |x1| + |x2| + ... + |xn|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar, usando indução matemática, que para todo número natural , a soma dos valores absolutos de é pelo menos igual ao valor absoluto da soma desses mesmos números. Isso está relacionado com o conceito de desigualdade triangular na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma prova por indução e como aplicar a desigualdade triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma prova por indução matemática. É uma técnica que usamos para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um ponto inicial. A prova tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.

Passo 3

Base da Indução: Vamos começar verificando se a afirmação é verdadeira para .
Quando , temos apenas um termo:
Isso é obviamente verdadeiro, pois um número é igual a si mesmo. Então, a base da indução está confirmada.

Passo 4

Passo Indutivo: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum . Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 5

Nosso objetivo agora é provar que a afirmação também é verdadeira para . Ou seja, precisamos mostrar que:

Passo 6

Vamos começar aplicando a desigualdade triangular, que afirma que para quaisquer números reais e :
Aplicando isso à soma , temos:

Passo 7

Pela hipótese de indução, sabemos que:
Substituindo isso na desigualdade anterior, temos:
Que resulta em:

Passo 8

Assim, mostramos que se a afirmação é verdadeira para , ela também é verdadeira para . Como já verificamos para , pela indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo .

Resposta

Portanto, demonstramos que para todo , a desigualdade
é verdadeira.

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