Demonstre usando indução: para todo
, Se
são números reais então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar, usando indução matemática, que para todo número natural
, a soma dos valores absolutos de
é pelo menos igual ao valor absoluto da soma desses mesmos números. Isso está relacionado com o conceito de desigualdade triangular na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma prova por indução e como aplicar a desigualdade triangular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma prova por indução matemática. É uma técnica que usamos para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um ponto inicial. A prova tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.
Passo 3
Base da Indução: Vamos começar verificando se a afirmação é verdadeira para
.
Quando
, temos apenas um termo:
Isso é obviamente verdadeiro, pois um número é igual a si mesmo. Então, a base da indução está confirmada.
Passo 4
Passo Indutivo: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 5
Nosso objetivo agora é provar que a afirmação também é verdadeira para
. Ou seja, precisamos mostrar que:
Passo 6
Vamos começar aplicando a desigualdade triangular, que afirma que para quaisquer números reais
e
:
Aplicando isso à soma
, temos:
Passo 7
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Substituindo isso na desigualdade anterior, temos:
Que resulta em:
Passo 8
Assim, mostramos que se a afirmação é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
. Como já verificamos para
, pela indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo
.
Resposta
Portanto, demonstramos que para todo
, a desigualdade
é verdadeira.