Demonstre usando indução que para todo
:
Mostre o uso da regra da resolução na combinação de termos.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Deve-se demonstrar que, para todo
, a expressão
é divisível por
.
- O enunciado também pede que se mostre o uso da “regra da resolução na combinação de termos” — isto será a técnica algébrica usada para combinar o caso
com o caso . - Nenhuma outra informação numérica ou figura foi fornecida.
Passo 2
Breve aula sobre os conceitos usados (divisibilidade e princípio da indução):
- Definição de divisibilidade: dizemos que um inteiro
divide um inteiro (escreve-se ) se existe um inteiro tal que
Então "
é divisível por
" significa exatamente isso.
- Princípio da indução matemática: para provar que uma propriedade
é verdadeira para todo , usa-se: - Caso base: provar
(ou , conforme o problema). - Passo indutivo: assumir
verdadeira para um arbitrário (hipótese indutiva) e provar que disso segue .
Se ambos os passos são verdadeiros, entãovale para todo .
- Caso base: provar
Vou aplicar exatamente esse método ao enunciado.
Passo 3
Caso base
:
Calcular a expressão para
:
Como
, a expressão é divisível por
no caso
. Assim, o caso base está verificado.
Passo 4
Hipótese de indução:
Suponha que, para algum
, vale a propriedade:
Pela definição de divisibilidade, isso significa que existe um inteiro
tal que
Esta é a hipótese indutiva que usaremos para provar o caso
.
Passo 5
Passo indutivo — provar que a propriedade vale para
:
Queremos mostrar que
é divisível por
.
Agora vem a “regra da resolução na combinação de termos” (a técnica algébrica de combinar o termo do caso
com multiplicadores adequados para gerar um múltiplo de
). Fazemos a seguinte manipulação algébrica, que é o truque chave:
Escrevemos
de modo a envolver a expressão da hipótese indutiva
:
Explicando cada passo:
- Escreveu-se
e . - Agrupou-se
. - Restou então o termo
.
Calculemos o coeficiente:
Portanto a expressão fica
Agora usamos a hipótese indutiva: sabemos que
para algum inteiro
. Substituindo,
que é múltiplo de
. O outro termo
é também claramente múltiplo de
. A soma de dois múltiplos de
é outro múltiplo de
. Logo
é divisível por
.
Isso completa o passo indutivo: a partir da hipótese para
provou-se o caso
.]
Passo 6
Conclusão por indução:
Tendo verificado o caso base
e provado que
, pelo princípio da indução matemática a propriedade vale para todo
: para todo
,
é divisível por
.
Observação final sobre a “regra da resolução na combinação de termos”: a manipulação em que escrevemos o caso
como
vezes o caso
mais um termo
é precisamente o uso dessa regra — multiplicar a hipótese por um número conveniente (aqui
) e ajustar o resto de forma a obter explicitamente um fator
. Esse tipo de combinação é muito útil em provas por indução envolvendo somas de potências.
Resposta
Para todo
,
é divisível por
.