Demonstre usando indução que para todo n \in \mathbb{N} :
11^{n+1}+12^{2 n-1} \text { é divisível por } 133éí
Mostre o uso da regra da resolução na combinação de termos.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Deve-se demonstrar que, para todo n \in \mathbb{N}, a expressão
11^{n+1}+12^{2n-1}
é divisível por 133.
  • O enunciado também pede que se mostre o uso da “regra da resolução na combinação de termos” — isto será a técnica algébrica usada para combinar o caso n=k com o caso n=k+1.
  • Nenhuma outra informação numérica ou figura foi fornecida.

Passo 2

Breve aula sobre os conceitos usados (divisibilidade e princípio da indução):
  • Definição de divisibilidade: dizemos que um inteiro a divide um inteiro b (escreve-se a\mid b) se existe um inteiro t tal que
b = a\cdot t.
Então " b é divisível por a " significa exatamente isso.
  • Princípio da indução matemática: para provar que uma propriedade P(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}, usa-se:
    1. Caso base: provar P(1) (ou P(0), conforme o problema).
    2. Passo indutivo: assumir P(k) verdadeira para um k arbitrário (hipótese indutiva) e provar que disso segue P(k+1).
      Se ambos os passos são verdadeiros, então P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}.
Vou aplicar exatamente esse método ao enunciado.

Passo 3

Caso base n=1:
Calcular a expressão para n=1:
11^{1+1}+12^{2\cdot1-1}=11^{2}+12^{1}=121+12=133.
Como 133=133\cdot 1, a expressão é divisível por 133 no caso n=1. Assim, o caso base está verificado.

Passo 4

Hipótese de indução:
Suponha que, para algum k\in\mathbb{N}, vale a propriedade:
11^{k+1}+12^{2k-1}\text{ é divisível por }133.éí
Pela definição de divisibilidade, isso significa que existe um inteiro m tal que
11^{k+1}+12^{2k-1}=133\cdot m.
Esta é a hipótese indutiva que usaremos para provar o caso k+1.

Passo 5

Passo indutivo — provar que a propriedade vale para n=k+1:
Queremos mostrar que
11^{(k+1)+1}+12^{2(k+1)-1}=11^{k+2}+12^{2k+1}
é divisível por 133.
Agora vem a “regra da resolução na combinação de termos” (a técnica algébrica de combinar o termo do caso k com multiplicadores adequados para gerar um múltiplo de 133). Fazemos a seguinte manipulação algébrica, que é o truque chave:
Escrevemos 11^{k+2}+12^{2k+1} de modo a envolver a expressão da hipótese indutiva 11^{k+1}+12^{2k-1}:
\begin{aligned} 11^{k+2}+12^{2k+1} &=11\cdot 11^{k+1}+12^{2}\cdot 12^{2k-1}\\[4pt] &=11\bigl(11^{k+1}+12^{2k-1}\bigr)+\bigl(12^{2}-11\bigr)\,12^{2k-1}. \end{aligned}
Explicando cada passo:
  • Escreveu-se 11^{k+2}=11\cdot 11^{k+1} e 12^{2k+1}=12^{2}\cdot 12^{2k-1}.
  • Agrupou-se 11\cdot 11^{k+1}+11\cdot 12^{2k-1}=11\bigl(11^{k+1}+12^{2k-1}\bigr).
  • Restou então o termo \bigl(12^{2}-11\bigr)\,12^{2k-1}.
Calculemos o coeficiente:
12^{2}-11 = 144-11=133.
Portanto a expressão fica
11^{k+2}+12^{2k+1}=11\bigl(11^{k+1}+12^{2k-1}\bigr)+133\cdot 12^{2k-1}.
Agora usamos a hipótese indutiva: sabemos que 11^{k+1}+12^{2k-1}=133\cdot m para algum inteiro m. Substituindo,
11\bigl(11^{k+1}+12^{2k-1}\bigr)=11\cdot(133\cdot m)=133\cdot(11m),
que é múltiplo de 133. O outro termo 133\cdot 12^{2k-1} é também claramente múltiplo de 133. A soma de dois múltiplos de 133 é outro múltiplo de 133. Logo
11^{k+2}+12^{2k+1}
é divisível por 133.
Isso completa o passo indutivo: a partir da hipótese para k provou-se o caso k+1.]

Passo 6

Conclusão por indução:
Tendo verificado o caso base n=1 e provado que P(k)\Rightarrow P(k+1), pelo princípio da indução matemática a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N}: para todo n,
11^{n+1}+12^{2n-1}
é divisível por 133.
Observação final sobre a “regra da resolução na combinação de termos”: a manipulação em que escrevemos o caso k+1 como 11 vezes o caso k mais um termo (12^{2}-11)\,12^{2k-1} é precisamente o uso dessa regra — multiplicar a hipótese por um número conveniente (aqui 11) e ajustar o resto de forma a obter explicitamente um fator 133. Esse tipo de combinação é muito útil em provas por indução envolvendo somas de potências.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, 11^{n+1}+12^{2n-1} é divisível por 133.

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