Demostre, usando a definição δ e γ, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 3}\left(1+\frac{x}{3}\right)=2

Passo 1

O enunciado pede que a gente demonstre, usando a definição com \delta e \gamma, que
\lim_{x\to 3}\left(1+\frac{x}{3}\right)=2.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=1+\dfrac{x}{3}.
  • O ponto de interesse no domínio é x=3.
  • A afirmação a provar é que o valor-limite é 2.

Passo 2

Vou lembrar a definição de limite que vamos usar (com as letras pedidas): diz-se que
\lim_{x\to 3} f(x)=2
se, para todo \gamma>0 dado (a tolerância desejada no valor da função), existe um \delta>0 (a tolerância no argumento x) tal que, sempre que 0<|x-3|<\delta, resulta
|f(x)-2|<\gamma.
Aqui \gamma é a precisão que queremos em torno de 2 e \delta é a largura de intervalo em torno de 3 que garante essa precisão. A estratégia é expressar |f(x)-2| em função de |x-3| e escolher \delta em função de \gamma.

Passo 3

Calculo a diferença entre f(x) e 2:
|f(x)-2|=\left|1+\frac{x}{3}-2\right|.
Faço as contas dentro do valor absoluto:
1+\frac{x}{3}-2=\frac{x}{3}-1=\frac{x-3}{3}.
Portanto
|f(x)-2|=\left|\frac{x-3}{3}\right|=\frac{|x-3|}{3}.

Passo 4

Agora relaciono |f(x)-2| com |x-3|. Queremos que |f(x)-2|<\gamma. Usando a expressão encontrada,
\frac{|x-3|}{3}<\gamma \quad\Longleftrightarrow\quad |x-3|<3\gamma.
Logo, uma escolha natural (e suficiente) é
\delta=3\gamma.
Verificação final: seja qualquer \gamma>0 e tome \delta=3\gamma. Se 0<|x-3|<\delta, então
|f(x)-2|=\frac{|x-3|}{3}<\frac{\delta}{3}=\frac{3\gamma}{3}=\gamma.
Isso satisfaz exatamente a definição: para todo \gamma>0 existe \delta=3\gamma>0 que garante |f(x)-2|<\gamma sempre que 0<|x-3|<\delta.

Passo 5

Comentário didático curto: a razão dessa simplicidade é que f é linear; para funções lineares do tipo f(x)=a x+b o erro em f é proporcional ao erro em x, o que permite escolher \delta proporcional a \gamma. Aqui a constante de proporcionalidade é 3, porque |f(x)-2|=\dfrac{1}{3}|x-3|.

Resposta

2

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