Demostre, usando a definição δ e γ, os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow 3}\left(1+\frac{x}{3}\right)=2
Passo 1
O enunciado pede que a gente demonstre, usando a definição com \delta e \gamma, que
\lim_{x\to 3}\left(1+\frac{x}{3}\right)=2.
Informações dadas:
A função é f(x)=1+\dfrac{x}{3}.
O ponto de interesse no domínio é x=3.
A afirmação a provar é que o valor-limite é 2.
Passo 2
Vou lembrar a definição de limite que vamos usar (com as letras pedidas): diz-se que
\lim_{x\to 3} f(x)=2
se, para todo \gamma>0 dado (a tolerância desejada no valor da função), existe um \delta>0 (a tolerância no argumento x) tal que, sempre que 0<|x-3|<\delta, resulta
|f(x)-2|<\gamma.
Aqui \gamma é a precisão que queremos em torno de 2 e \delta é a largura de intervalo em torno de 3 que garante essa precisão. A estratégia é expressar |f(x)-2| em função de |x-3| e escolher \delta em função de \gamma.
Isso satisfaz exatamente a definição: para todo \gamma>0 existe \delta=3\gamma>0 que garante |f(x)-2|<\gamma sempre que 0<|x-3|<\delta.
Passo 5
Comentário didático curto: a razão dessa simplicidade é que f é linear; para funções lineares do tipo f(x)=a x+b o erro em f é proporcional ao erro em x, o que permite escolher \delta proporcional a \gamma. Aqui a constante de proporcionalidade é 3, porque |f(x)-2|=\dfrac{1}{3}|x-3|.