Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva:
y=\frac{2 x^{2}+1}{2 x^{2}+2 x-1}

Passo 1

O enunciado dá a função racional \displaystyle y=\frac{2x^{2}+1}{2x^{2}+2x-1} e pede duas coisas:
  • Encontrar a(s) assíntota(s) horizontais.
  • Encontrar a(s) assíntota(s) verticais.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é \displaystyle 2x^{2}+1.
  • O denominador é \displaystyle 2x^{2}+2x-1.

Passo 2

O que é uma assíntota horizontal (intuição e critério prático).
  • Intuição: uma assíntota horizontal é uma reta \displaystyle y=L tal que quando |x| fica muito grande a função se aproxima de \displaystyle L.
  • Critério prático para funções racionais: comparar os graus (expoentes) do numerador e do denominador.
    • Se o grau do numerador for menor que o do denominador, então \displaystyle y=0 é assíntota horizontal.
    • Se os graus forem iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
    • Se o grau do numerador for maior, não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua).
  • Aqui o numerador e o denominador têm ambos grau 2. Então a assíntota horizontal (se houver) será a razão dos coeficientes dos termos x^{2}.

Passo 3

Calcular explicitamente a assíntota horizontal pelo critério de coeficientes.
  • Coeficiente líder do numerador (do termo x^{2}) é 2.
  • Coeficiente líder do denominador (do termo x^{2}) é 2.
  • Portanto a assíntota horizontal é
y=\frac{2}{2}=1.
Uma forma alternativa de ver isso é dividir numerador e denominador por x^{2} e tomar o limite quando x\to\pm\infty:
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^{2}+1}{2x^{2}+2x-1} =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2+\tfrac{1}{x^{2}}}{2+\tfrac{2}{x}-\tfrac{1}{x^{2}}}= \frac{2}{2}=1.

Passo 4

O que é uma assíntota vertical (intuição e critério prático).
  • Intuição: ocorre em x=a quando a função cresce em módulo sem limite ( \pm\infty) ao nos aproximarmos de a; graficamente é uma “linha vertical” que a curva penetra para \pm\infty.
  • Critério prático para racionais: zeros do denominador são candidatos a assíntotas verticais; se um zero do denominador não for também zero do numerador (ou seja, não houver cancelamento), então esse zero gera uma assíntota vertical (desde que o limite dê \pm\infty).

Passo 5

Encontrar os zeros do denominador resolvendo \displaystyle 2x^{2}+2x-1=0.
Aplicando a fórmula quadrática para ax^{2}+bx+c=0 com a=2, b=2, c=-1:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot2\cdot(-1)}}{2\cdot2} =\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{4} =\frac{-2\pm\sqrt{12}}{4}.
Simplificando \sqrt{12}=2\sqrt{3}:
x=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}.
Logo os candidatos são
x_{1}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},\qquad x_{2}=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Verificar se há cancelamento com o numerador (ou seja, se algum desses zeros anula também o numerador).
  • O numerador é \displaystyle 2x^{2}+1. Procuramos soluções de \displaystyle 2x^{2}+1=0.
  • Essa equação dá x^{2}=-\tfrac{1}{2}, que não tem solução real. Portanto \displaystyle 2x^{2}+1\neq0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • Conclusão: nenhum zero do denominador é também zero do numerador; não há cancelamentos (não há “buraco” removível). Assim ambos os zeros do denominador geram assíntotas verticais.

Passo 7

Determinar o comportamento da função perto de cada assíntota vertical (sinais dos limites laterais).
  • É útil fatorar o denominador em termos das raízes para ver o sinal:
2x^{2}+2x-1 = 2(x-x_{1})(x-x_{2}),
onde x_{1}=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} e x_{2}=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}.
  • Observação numérica: x_{2}<x_{1} e numericamente x_{2}\approx -1{,}366, x_{1}\approx 0{,}366.
  • Como o numerador \displaystyle 2x^{2}+1 é sempre positivo, o sinal de y próximo de uma raiz é o sinal de 1/( (x-x_{1})(x-x_{2}) ) (até a constante positiva 2).
Análise em x\to x_{1}:
  • Para x\to x_{1}^{-} temos x-x_{1}<0 e x-x_{2}>0 (pois x_{2}<x_{1}), logo (x-x_{1})(x-x_{2})<0. Com numerador positivo, y\to -\infty.
  • Para x\to x_{1}^{+} temos x-x_{1}>0 e x-x_{2}>0, logo (x-x_{1})(x-x_{2})>0. Com numerador positivo, y\to +\infty.
Análise em x\to x_{2}:
  • Para x\to x_{2}^{-} temos x-x_{2}<0 e x-x_{1}<0 (pois x<x_{2}<x_{1}), logo (x-x_{1})(x-x_{2})>0. Assim y\to +\infty.
  • Para x\to x_{2}^{+} temos x-x_{2}>0 e x-x_{1}<0, logo (x-x_{1})(x-x_{2})<0. Assim y\to -\infty.
Esses limites confirmam que em x=x_{1} e x=x_{2} a função diverge para \pm\infty, caracterizando assíntotas verticais nesses valores.

Passo 8

Resumo e interpretação final (sem desenvolvimento extra): a função tem uma assíntota horizontal em y=1 e duas assíntotas verticais nas raízes do denominador, que não são zeros do numerador:
x=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\quad\text{e}\quad x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}.

Resposta

Assíntota horizontal: y=1
Assíntotas verticais: x=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2},\; x=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}

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