Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva:
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede duas coisas:
- Encontrar a(s) assíntota(s) horizontais.
- Encontrar a(s) assíntota(s) verticais.
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é
.
Passo 2
O que é uma assíntota horizontal (intuição e critério prático).
- Intuição: uma assíntota horizontal é uma reta
tal que quando fica muito grande a função se aproxima de . - Critério prático para funções racionais: comparar os graus (expoentes) do numerador e do denominador.
- Se o grau do numerador for menor que o do denominador, então
é assíntota horizontal. - Se os graus forem iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
- Se o grau do numerador for maior, não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua).
- Se o grau do numerador for menor que o do denominador, então
- Aqui o numerador e o denominador têm ambos grau
. Então a assíntota horizontal (se houver) será a razão dos coeficientes dos termos .
Passo 3
Calcular explicitamente a assíntota horizontal pelo critério de coeficientes.
- Coeficiente líder do numerador (do termo
) é . - Coeficiente líder do denominador (do termo
) é . - Portanto a assíntota horizontal é
Uma forma alternativa de ver isso é dividir numerador e denominador por
e tomar o limite quando
:
Passo 4
O que é uma assíntota vertical (intuição e critério prático).
- Intuição: ocorre em
quando a função cresce em módulo sem limite ( ) ao nos aproximarmos de ; graficamente é uma “linha vertical” que a curva penetra para . - Critério prático para racionais: zeros do denominador são candidatos a assíntotas verticais; se um zero do denominador não for também zero do numerador (ou seja, não houver cancelamento), então esse zero gera uma assíntota vertical (desde que o limite dê
).
Passo 5
Encontrar os zeros do denominador resolvendo
.
Aplicando a fórmula quadrática para com
,
,
:
Aplicando a fórmula quadrática para
Simplificando
:
Logo os candidatos são
Passo 6
Verificar se há cancelamento com o numerador (ou seja, se algum desses zeros anula também o numerador).
- O numerador é
. Procuramos soluções de . - Essa equação dá
, que não tem solução real. Portanto para todo . - Conclusão: nenhum zero do denominador é também zero do numerador; não há cancelamentos (não há “buraco” removível). Assim ambos os zeros do denominador geram assíntotas verticais.
Passo 7
Determinar o comportamento da função perto de cada assíntota vertical (sinais dos limites laterais).
- É útil fatorar o denominador em termos das raízes para ver o sinal:
onde
e
.
- Observação numérica:
e numericamente , . - Como o numerador
é sempre positivo, o sinal de próximo de uma raiz é o sinal de (até a constante positiva ).
Análise em
:
- Para
temos e (pois ), logo . Com numerador positivo, . - Para
temos e , logo . Com numerador positivo, .
Análise em
:
- Para
temos e (pois ), logo . Assim . - Para
temos e , logo . Assim .
Esses limites confirmam que em
e
a função diverge para
, caracterizando assíntotas verticais nesses valores.
Passo 8
Resumo e interpretação final (sem desenvolvimento extra): a função tem uma assíntota horizontal em
e duas assíntotas verticais nas raízes do denominador, que não são zeros do numerador:
Resposta
Assíntota horizontal:
Assíntotas verticais:
Assíntotas verticais: