Demostre utilizando conservação de energia mecânica E = Ec + Ep (Ec = energia cinética; Ep = energia potencial) que é possível chegar a equação da posição em função do tempo para um corpo em queda livre. lembre-se das definições de velocidade e aceleração para resolução do problema. (observação a resolução deve ser clara e passo a passo, mesmo para as passagens matemáticas mais triviais, não adotar essas recomendações pode levar a considerar o problema errado)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício onde a gente precisa mostrar que dá pra achar a posição de um corpo em queda livre usando a conservação da energia mecânica. A energia mecânica total (E) é a soma da energia cinética (Ec) e da energia potencial (Ep). Para isso, vamos usar as definições de velocidade e aceleração. Vamos precisar das fórmulas de energia, além das relações básicas de movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética é dada por:
Ec = 12mv^2
E a energia potencial gravitacional é:
Ep = mgh
Onde:
  • $ m $ é a massa do objeto,
  • $ v $ é a velocidade,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ h $ é a altura.

Passo 3

A conservação da energia mecânica diz que a energia total permanece constante, ou seja:
E = Ec + Ep
Como o corpo está em queda livre, vamos considerar a altura inicial $ h_0 $ e a altura no tempo $ t $ como $ h $.

Passo 4

No início da queda, toda a energia é potencial:
E = mgh0
Durante a queda, parte da energia potencial se transforma em cinética:
mgh0 = 12mv^2 + mgh

Passo 5

Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por $ m $:
m

Passo 6

Isolando $ v^2 $:
v^2
Multiplicando ambos os lados por 2:
12v^2 = g(h0 - h)

Passo 7

Tirando a raiz quadrada para achar $ v $:
v
Mas sabemos que a velocidade também é a derivada da posição em relação ao tempo:
v = raiz2g(h0 - h)

Passo 8

Substituindo a expressão de $ v $:
v
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
dhdt = raiz2g(h0 - h)

Passo 9

Integrando ambos os lados. A integral do lado esquerdo:
integral dhraizh0 - h = -2raizh0 - h
E do lado direito:
integral raiz2g , dt = raiz2g , t + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 10

Considerando que no tempo $ t = 0 $, a posição é $ h = h_0 $, podemos achar $ C $:
t = 0
h = h0
Logo, $ C = 0 $.

Passo 11

Voltando à equação integrada:
-2raizh0 - h = raiz2g , t
Multiplicando ambos os lados por -1:
2raizh0 - h = -raiz2g , t
Como o tempo é positivo e a raiz é positiva, podemos ajustar os sinais:
raizh0 - h = raiz2g2 , t
raizh0 - h = traiz2g2

Passo 12

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
h0 - h = (traiz2g2)^2
h0 - h = 2g t^24
h0 - h = g t^22

Passo 13

Isolando $ h $:
h
Então, a posição em função do tempo para um corpo em queda livre é:
h = h0 - 12>^2

Resposta

A posição do corpo em queda livre em função do tempo é:
h(t) = h0 - 12>^2

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