Demostre utilizando conservação de energia mecânica E = Ec + Ep (Ec = energia cinética; Ep = energia potencial) que é possível chegar a equação da posição em função do tempo para um corpo em queda livre. lembre-se das definições de velocidade e aceleração para resolução do problema. (observação a resolução deve ser clara e passo a passo, mesmo para as passagens matemáticas mais triviais, não adotar essas recomendações pode levar a considerar o problema errado)
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver um exercício onde a gente precisa mostrar que dá pra achar a posição de um corpo em queda livre usando a conservação da energia mecânica. A energia mecânica total (E) é a soma da energia cinética (Ec) e da energia potencial (Ep). Para isso, vamos usar as definições de velocidade e aceleração. Vamos precisar das fórmulas de energia, além das relações básicas de movimento uniformemente acelerado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética é dada por:
E a energia potencial gravitacional é:
Onde:
- $ m $ é a massa do objeto,
- $ v $ é a velocidade,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ h $ é a altura.
Passo 3
A conservação da energia mecânica diz que a energia total permanece constante, ou seja:
Como o corpo está em queda livre, vamos considerar a altura inicial $ h_0 $ e a altura no tempo $ t $ como $ h $.
Passo 4
No início da queda, toda a energia é potencial:
Durante a queda, parte da energia potencial se transforma em cinética:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por $ m $:
Passo 6
Isolando $ v^2 $:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 7
Tirando a raiz quadrada para achar $ v $:
Mas sabemos que a velocidade também é a derivada da posição em relação ao tempo:
Passo 8
Substituindo a expressão de $ v $:
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Passo 9
Integrando ambos os lados. A integral do lado esquerdo:
E do lado direito:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 10
Considerando que no tempo $ t = 0 $, a posição é $ h = h_0 $, podemos achar $ C $:
Logo, $ C = 0 $.
Passo 11
Voltando à equação integrada:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Como o tempo é positivo e a raiz é positiva, podemos ajustar os sinais:
Passo 12
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 13
Isolando $ h $:
Então, a posição em função do tempo para um corpo em queda livre é:
Resposta
A posição do corpo em queda livre em função do tempo é: