Que inclinações deveriam ter uma manilha vitrificada com 0,4 m de diâmetro, rugosidade 0,016 e escoamento de 0,0535 m^3 / s, quando funcionar à meia seção e à plena seção?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema que envolve hidráulica de canais. Precisamos descobrir qual é a inclinação que uma manilha vitrificada de 0,4 metros de diâmetro deve ter para escoar um fluxo de 0,0535 , m^3/s tanto na meia seção quanto na plena seção. Para resolver isso, vamos usar a equação de Manning, que relaciona o fluxo, a inclinação, a rugosidade e as características do canal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação de Manning. Ela é dada por:
Q = 1n A R^2/3 S^1/2
Onde:
  • Q é o fluxo (em $ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $)
  • m^3/s é o coeficiente de rugosidade
  • n é a área da seção transversal do fluxo (em $ \mathrm{m}^2 $)
  • A é o raio hidráulico (em metros)
  • m^2 é a inclinação do canal (adimensional)
Vamos precisar rearranjar essa fórmula para achar R.

Passo 3

Para calcular a inclinação S, vamos isolar S na equação de Manning. Fazendo os passos algébricos, temos:
S = ( n QA R^2/3 )^2
Agora, precisamos calcular a área A e o raio hidráulico R para as duas situações: meia seção e plena seção.

Passo 4

Vamos calcular primeiro para a plena seção. O diâmetro da manilha é 0,4 , m, então o raio total Rt é metade disso:
Rt = 0,42 = 0,2 , m
Na plena seção, a área A é a área completa do círculo:
A = pi Rt^2 = pi (0,2)^2 = 0,1256 , m^2
O raio hidráulico R em plena seção é igual ao raio total Rt:
R = Rt = 0,2 , m

Passo 5

Agora, vamos calcular a inclinação S na plena seção usando a fórmula rearranjada:
S = ( n QA R^2/3 )^2
Substituindo os valores:
S = ( 0,016 times 0,05350,1256 times (0,2)^2/3 )^2
Vamos calcular passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculamos R^2/3:
(0,2)^2/3 approx 0,2^0,6667 approx 0,275
Agora, multiplicamos A por R^2/3:
0,1256 times 0,275 approx 0,0345
Em seguida, multiplicamos n por Q:
0,016 times 0,0535 approx 0,000856
Dividindo os dois resultados:
0,0008560,0345 approx 0,0248
Elevando ao quadrado:
S = (0,0248)^2 approx 0,000615

Passo 7

Agora, vamos repetir o processo para meia seção. Na meia seção, a área A é metade da área plena:
A = 0,12562 = 0,0628 , m^2
O raio hidráulico R na meia seção é a área dividida pelo perímetro molhado. Para uma semi-circular seção, o perímetro molhado P é metade da circunferência mais o diâmetro:
P = pi Rt + 2Rt = pi times 0,2 + 0,4 approx 0,628 + 0,4 = 1,028 , m
Então,
R = AP = 0,06281,028 approx 0,0611 , m

Passo 8

Agora, calculamos a inclinação S na meia seção:
S = ( 0,016 times 0,05350,0628 times (0,0611)^2/3 )^2
Primeiro, calculamos R^2/3:
(0,0611)^2/3 approx 0,0611^0,6667 approx 0,142
Multiplicando A por R^2/3:
0,0628 times 0,142 approx 0,00893
Multiplicando n por Q:
0,016 times 0,0535 approx 0,000856
Dividindo os dois resultados:
0,0008560,00893 approx 0,0958
Elevando ao quadrado:
S = (0,0958)^2 approx 0,00917

Resposta

A inclinação necessária para a manilha vitrificada é aproximadamente 0,000615 (ou 0,0615%) na plena seção e 0,00917 (ou 0,917%) na meia seção.

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