Demuestre cómo se obtiene el Centro de Gravedad para el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme " a " contenido en el espacio. ¿De qué depende la posición ( x c, y c, z c ) del mismo?

Passo 1

Tenemos un alambre homogéneo de sección transversal uniforme a que ocupa en el espacio una curva C. Se pide obtener las coordenadas del centro de gravedad (x_c,y_c,z_c) del alambre y decir de qué depende dicha posición.
Datos relevantes dados por el enunciado (los anoto explícitos):
  • La sección transversal es constante: a (es un número dado).
  • El material es homogéneo: la densidad volumétrica es constante, la llamo \rho.
  • El alambre se apoya sobre una curva espacial C. Podemos representar C por una parametrización suave \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) con t\in[t_1,t_2].
  • Elemento de longitud diferencial sobre la curva: ds (se relaciona con la parametrización).
  • Pregunta: hallar x_c,y_c,z_c y decir de qué parámetros o propiedades del problema dependen.

Passo 2

Primero encuentro la masa de un trocito del alambre. Explico por qué y cómo se forma el elemento de masa: la densidad volumétrica \rho es la masa por unidad de volumen del material. Un trocito muy pequeño de alambre de longitud ds tiene volumen aproximadamente a\,ds (porque la sección es constante a y la longitud es ds). Por tanto la masa elemental dm es
dm=\rho\cdot(\text{volumen elemental})=\rho\;a\;ds.
Es útil definir la densidad lineal \lambda (masa por unidad de longitud) como
\lambda=\rho\,a,
que aquí es constante porque \rho y a son constantes. Entonces
dm=\lambda\,ds.
Explico: esto convierte el problema volumétrico en un problema unidimensional sobre la curva, con \lambda constante si el alambre es homogéneo y de sección uniforme.

Passo 3

La definición del centro de gravedad (centro de masa) en coordenadas cartesianas para un sistema continuo es el promedio ponderado por la masa. Para la componente x_c se tiene
x_c=\frac{1}{M}\int x\,dm,
donde M es la masa total del alambre. De forma análoga
y_c=\frac{1}{M}\int y\,dm,\qquad z_c=\frac{1}{M}\int z\,dm.
Aquí x,y,z son las coordenadas de los puntos del alambre (por ejemplo x=x(t) en la parametrización). Esta es la fórmula fundamental: cada coordenada del centro es la media de esa coordenada a lo largo del cuerpo, ponderada por la masa.

Passo 4

Ahora sustituyo dm=\lambda\,ds en las integrales y calculo M. La masa total es
M=\int dm=\int_{C}\lambda\,ds=\lambda \int_{C} ds=\lambda L,
donde L es la longitud total del alambre:
L=\int_{C} ds.
Sustituyendo en la definición de x_c:
x_c=\frac{1}{M}\int_C x\,dm=\frac{1}{\lambda L}\int_C x\,(\lambda\,ds)=\frac{1}{L}\int_C x\,ds.
Observe que la \lambda se cancela: para un alambre homogéneo la sección a y la densidad \rho no afectan la posición del centro de gravedad, sólo la longitud y la geometría importan. De forma análoga,
y_c=\frac{1}{L}\int_C y\,ds,\qquad z_c=\frac{1}{L}\int_C z\,ds.
Explicación pedagógica: esto significa que el centro de gravedad es el promedio de las coordenadas a lo largo de la curva, donde cada punto pesa según su longitud (no según su volumen, porque la sección es constante).

Passo 5

Para calcular efectivamente esas integrales conviene usar una parametrización explícita \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), t\in[t_1,t_2]. En esa parametrización el elemento de arco es
ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\;dt.
Entonces las fórmulas se transforman en integrales en t:
L=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2+\dot z(t)^2}\;dt,
x_c=\frac{1}{L}\int_{t_1}^{t_2} x(t)\,\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2+\dot z(t)^2}\;dt,
y_c=\frac{1}{L}\int_{t_1}^{t_2} y(t)\,\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2+\dot z(t)^2}\;dt,
z_c=\frac{1}{L}\int_{t_1}^{t_2} z(t)\,\sqrt{\dot x(t)^2+\dot y(t)^2+\dot z(t)^2}\;dt.
Donde \dot x=\dfrac{dx}{dt}, etc. Aquí queda claro cómo se calcula en la práctica: eliges una parametrización suave de la curva y evalúas esas integrales.

Passo 6

Interpretación y dependencia: las expresiones muestran claramente de qué depende (x_c,y_c,z_c):
  • Depende de la geometría de la curva C: la forma y cómo se distribuye la longitud en el espacio determinan el promedio ponderado por ds.
  • Si el alambre es homogéneo (densidad volumétrica \rho constante y sección a constante), la posición del centro NO depende de \rho ni de a porque se cancelan (aparecen en \lambda y su factor se simplifica). Es decir, para alambres homogéneos de distinta sección pero con la misma curva el centro no cambia.
  • Si la densidad lineal fuera variable \lambda=\lambda(t) (alambre no homogéneo), las fórmulas generalizadas serían
x_c=\frac{1}{M}\int_C x\,\lambda\,ds,\qquad M=\int_C \lambda\,ds,
y ahí sí la distribución de masa \lambda(t) influye en (x_c,y_c,z_c).

Passo 7

Ejemplo concreto y muy útil en examen: segmento rectilíneo entre dos puntos A=(x_1,y_1,z_1) y B=(x_2,y_2,z_2). Parametrizo por t\in[0,1]:
\mathbf{r}(t)=A+t(B-A)=(x_1+t(x_2-x_1),\;y_1+t(y_2-y_1),\;z_1+t(z_2-z_1)).
Aquí \sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}=|B-A| (constante), y L=|B-A|. Entonces
x_c=\frac{1}{L}\int_0^1 (x_1+t(x_2-x_1))\,L\,dt=\int_0^1 (x_1+t(x_2-x_1))\,dt=\frac{x_1+x_2}{2}.
Análogo para y_c y z_c. Resultado: el centro de gravedad de un segmento homogéneo es el punto medio, lo cual es un buen chequeo de consistencia.

Passo 8

Consejos prácticos para la prueba (rápido y mental):
  • Si el alambre tiene simetrías (por ejemplo curva simétrica respecto a un plano), aprovecha la simetría: la componente correspondiente será la del centro del sistema de simetría (por ejemplo en un arco circular simétrico respecto al eje y, x_c=0).
  • Si la parametrización es difícil, intenta dividir la curva en trozos más simples y usar la definición por sumas \sum x_i \Delta s_i que en el límite da la integral.
  • Recuerda que para alambre homogéneo el área a y la densidad \rho se cancelan: no pierdas tiempo llevándolas hasta el final si sabes que son constantes.

Resposta

x_c=\frac{1}{L}\int_{C} x\,ds,\qquad y_c=\frac{1}{L}\int_{C} y\,ds,\qquad z_c=\frac{1}{L}\int_{C} z\,ds,
con
L=\int_{C} ds.
En parametrización \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)):
L=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}\,dt,
x_c=\frac{1}{L}\int_{t_1}^{t_2} x(t)\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}\,dt,
y análogas para y_c,z_c. Para un alambre homogéneo de sección a y densidad \rho la posición del centro depende sólo de la geometría de la curva C (y de una eventual distribución lineal de masa \lambda(t) si no fuera homogéneo); no depende de a ni de \rho cuando éstos son constantes.

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