Demuestre cómo se obtiene el Centro de Gravedad para el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme "
" contenido en el espacio. ¿De qué depende la posición (
) del mismo?
Passo 1
Tenemos un alambre homogéneo de sección transversal uniforme
que ocupa en el espacio una curva
. Se pide obtener las coordenadas del centro de gravedad
del alambre y decir de qué depende dicha posición.
Datos relevantes dados por el enunciado (los anoto explícitos):
Datos relevantes dados por el enunciado (los anoto explícitos):
- La sección transversal es constante:
(es un número dado). - El material es homogéneo: la densidad volumétrica es constante, la llamo
. - El alambre se apoya sobre una curva espacial
. Podemos representar por una parametrización suave con . - Elemento de longitud diferencial sobre la curva:
(se relaciona con la parametrización). - Pregunta: hallar
y decir de qué parámetros o propiedades del problema dependen.
Passo 2
Primero encuentro la masa de un trocito del alambre. Explico por qué y cómo se forma el elemento de masa: la densidad volumétrica
es la masa por unidad de volumen del material. Un trocito muy pequeño de alambre de longitud
tiene volumen aproximadamente
(porque la sección es constante
y la longitud es
). Por tanto la masa elemental
es
Es útil definir la densidad lineal
(masa por unidad de longitud) como
que aquí es constante porque
y
son constantes. Entonces
Explico: esto convierte el problema volumétrico en un problema unidimensional sobre la curva, con
constante si el alambre es homogéneo y de sección uniforme.
Passo 3
La definición del centro de gravedad (centro de masa) en coordenadas cartesianas para un sistema continuo es el promedio ponderado por la masa. Para la componente
se tiene
donde
es la masa total del alambre. De forma análoga
Aquí
son las coordenadas de los puntos del alambre (por ejemplo
en la parametrización). Esta es la fórmula fundamental: cada coordenada del centro es la media de esa coordenada a lo largo del cuerpo, ponderada por la masa.
Passo 4
Ahora sustituyo
en las integrales y calculo
. La masa total es
donde
es la longitud total del alambre:
Sustituyendo en la definición de
:
Observe que la
se cancela: para un alambre homogéneo la sección
y la densidad
no afectan la posición del centro de gravedad, sólo la longitud y la geometría importan. De forma análoga,
Explicación pedagógica: esto significa que el centro de gravedad es el promedio de las coordenadas a lo largo de la curva, donde cada punto pesa según su longitud (no según su volumen, porque la sección es constante).
Passo 5
Para calcular efectivamente esas integrales conviene usar una parametrización explícita
,
. En esa parametrización el elemento de arco es
Entonces las fórmulas se transforman en integrales en
:
Donde
, etc. Aquí queda claro cómo se calcula en la práctica: eliges una parametrización suave de la curva y evalúas esas integrales.
Passo 6
Interpretación y dependencia: las expresiones muestran claramente de qué depende
:
- Depende de la geometría de la curva
: la forma y cómo se distribuye la longitud en el espacio determinan el promedio ponderado por . - Si el alambre es homogéneo (densidad volumétrica
constante y sección constante), la posición del centro NO depende de ni de porque se cancelan (aparecen en y su factor se simplifica). Es decir, para alambres homogéneos de distinta sección pero con la misma curva el centro no cambia. - Si la densidad lineal fuera variable
(alambre no homogéneo), las fórmulas generalizadas serían
y ahí sí la distribución de masa
influye en
.
Passo 7
Ejemplo concreto y muy útil en examen: segmento rectilíneo entre dos puntos
y
. Parametrizo por
:
Aquí
(constante), y
. Entonces
Análogo para
y
. Resultado: el centro de gravedad de un segmento homogéneo es el punto medio, lo cual es un buen chequeo de consistencia.
Passo 8
Consejos prácticos para la prueba (rápido y mental):
- Si el alambre tiene simetrías (por ejemplo curva simétrica respecto a un plano), aprovecha la simetría: la componente correspondiente será la del centro del sistema de simetría (por ejemplo en un arco circular simétrico respecto al eje
, ). - Si la parametrización es difícil, intenta dividir la curva en trozos más simples y usar la definición por sumas
que en el límite da la integral. - Recuerda que para alambre homogéneo el área
y la densidad se cancelan: no pierdas tiempo llevándolas hasta el final si sabes que son constantes.
Resposta
con
En parametrización
:
y análogas para
. Para un alambre homogéneo de sección
y densidad
la posición del centro depende sólo de la geometría de la curva
(y de una eventual distribución lineal de masa
si no fuera homogéneo); no depende de
ni de
cuando éstos son constantes.