A torre de perfuração de petróleo alcançou 5 km de profundidade antes de atingir um reservatório de petróleo bruto. Quando isso ocorre, a pressão na coluna do poço A passa para 25 MPa . Uma lama de perfuração deve ser adicionada em toda a extensão do tubo para deslocar o óleo e equilibrar essa pressão. Qual deve ser a densidade da lama para que a pressão no poço A se torne zero? (Considere \rho_{\text {petroleo }}=880 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} )

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a densidade da lama de perfuração que, colocada em toda a extensão do tubo até a profundidade de 5\\ \mathrm{km}, faz com que a pressão no ponto A (no topo da coluna) se torne zero. Informações dadas:
\rho_{\text{petróleo}} = 880\\ \mathrm{kg/m^{3}}ó.
Quando o poço atinge o reservatório, a pressão no topo com a coluna de petróleo passa a ser 25\\ \mathrm{MPa}.
A profundidade da coluna é 5\\ \mathrm{km} = 5000\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito básico: pressão hidrostática. A pressão varia com a profundidade numa coluna de fluido segundo a fórmula
P_{\text{fundo}} = P_{\text{topo}} + \rho g h,
onde:
  • \rho é a densidade do fluido (em \mathrm{kg/m^{3}}),
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}),
  • h é a altura (ou profundidade) da coluna de fluido (em \mathrm{m}),
  • P_{\text{topo}} e P_{\text{fundo}} são as pressões nos pontos topo e fundo, respectivamente (em Pa).
Essa fórmula é a ferramenta principal: ela relaciona pressões em dois pontos da mesma coluna de fluido por causa do peso do fluido entre eles.

Passo 3

Vamos chamar P_{\text{res}} a pressão do reservatório (pressão no fundo, no contato com o petróleo no reservatório). Quando a coluna do poço está cheia de petróleo, a pressão no topo A é
P_{A} = P_{\text{res}} - \rho_{\text{oil}} g h.
O enunciado diz que, nessa situação, P_{A} = 25\\ \mathrm{MPa}. Transformando para pascals: 25\\ \mathrm{MPa} = 25\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}. Logo
P_{\text{res}} = P_{A} + \rho_{\text{oil}} g h = 25\times 10^{6} + \rho_{\text{oil}} g h.

Passo 4

Agora colocamos lama (densidade \rho_{\text{lama}}) na coluna até o topo. Queremos que a nova pressão no topo seja zero:
0 = P_{\text{res}} - \rho_{\text{lama}} g h.
Isolando \rho_{\text{lama}} obtemos
\rho_{\text{lama}} = \frac{P_{\text{res}}}{g h}.
Substituindo P_{\text{res}} da equação do passo anterior:
\rho_{\text{lama}} = \frac{25\times 10^{6} + \rho_{\text{oil}} g h}{g h} = \rho_{\text{oil}} + \frac{25\times 10^{6}}{g h}.
Essa expressão tem sentido físico claro: a lama precisa ter a densidade do petróleo mais um acréscimo que represente a pressão extra de 25\\ \mathrm{MPa} distribuída na coluna de altura h.

Passo 5

Vamos calcular numericamente. Usamos g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}, h=5000\\ \mathrm{m} e \rho_{\text{oil}}=880\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Calcule o termo adicional:
g h = 9{,}8 \times 5000 = 49{,}000\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
\frac{25\times 10^{6}}{g h} = \frac{25{,}000{,}000}{49{,}000} \approx 510{,}2040816\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Somando com \rho_{\text{oil}}:
\rho_{\text{lama}} = 880 + 510{,}2040816 \approx 1390{,}2040816\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Arredondando com precisão razoável para uma aplicação prática, podemos escrever \rho_{\text{lama}}\approx 1{,}39\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 6

Interpretação física e chequinho final: a lama precisa ser significativamente mais densa que o petróleo (aumenta de 880 para cerca de 1390\\ \mathrm{kg/m^{3}}) para contrabalançar a pressão adicional de 25\\ \mathrm{MPa} ao longo de 5\\ \mathrm{km}. Isso faz sentido: para neutralizar uma pressão elevada do reservatório é preciso uma coluna de fluido mais pesada.

Resposta

\rho_{\text{lama}} \approx 1{,}39\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}

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