A densidade da água em uma superfície livre onde a pressão é de 101325 Pa é aproximadamente
.
(a) Considerando a água como um fluido incompressível, determine a pressão da água a uma profundidade de 22 km .
(b) Considerando que o módulo de Bulk da água seja
. Determine a densidade e a pressão a uma profundidade de 22 km . Despreze o efeito da temperatura. A pressão encontrada é maior ou menor que a pressão encontrada no item (a)? Explique.
(a) Considerando a água como um fluido incompressível, determine a pressão da água a uma profundidade de 22 km .
(b) Considerando que o módulo de Bulk da água seja
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e dá alguns dados. Vou listar explicitamente o que é pedido e o que é fornecido:
-
Perguntas:
- (a) Considerando a água incompressível, determinar a pressão a uma profundidade de
. - (b) Considerando que o módulo Bulk da água seja
, determinar a densidade e a pressão a . Desprezar efeito da temperatura. Comparar a pressão obtida com a do item (a) e explicar se é maior ou menor e por quê.
- (a) Considerando a água incompressível, determinar a pressão a uma profundidade de
-
Dados fornecidos:
Passo 2
Entendimento físico e fórmulas básicas que vamos usar (aula rápida e concreta):
-
Pressão hidrostática: para uma coluna de fluido a uma profundidade
(assumindo densidade constante no caso incompressível), Explicação: a pressão adicional além da pressão na superfície vem do peso da coluna de fluido acima da profundidade. O termoé a força por unidade de área devido ao peso da coluna de altura . -
Definição do módulo Bulk
: é uma medida da resistência do fluido à compressão. Matematicamente, Como a densidade, quando o volume muda, a densidade muda. A relação útil que resulta é ou, integrando para variações finitas,Explicação: um aumento de pressãocausa um aumento relativo da densidade (válido exatamente na formula exponencial se é constante). -
Para o fluido compressível, a equação de equilíbrio vertical (hidrostática) éonde
é a profundidade medida a partir da superfície (positivo para baixo). Como depende de , teremos uma equação diferencial que relaciona e .
Passo 3
Resolvendo o item (a) — água incompressível (passo a passo, sem pular contas):
- Usamos a fórmula da pressão hidrostática para densidade constante:
- Substituindo os valores (cada número em TeX):
- Calculemos a parte do peso da coluna:
- Somando a pressão de superfície:
- Em notação mais compacta, geralmente expressamos em megapascal:
Passo 4
Preparando para o item (b): montar a equação diferencial para o caso compressível e resolver passo a passo (ensino detalhado do método):
-
Sabemos que a densidade varia com a pressão segundoExplicação curta: esta expressão vem de integrar
entre e . -
A equação hidrostática em função da profundidade
(positiva para baixo) é Substituindoobtemos a equação diferencial: Esta é uma equação separável eme .
Passo 5
Resolver a equação diferencial (separação de variáveis) e obter fórmula fechada para
e
:
- Separe variáveis:
- Integre ambos os lados desde a superfície (
) até profundidade e pressão : - No lado esquerdo, faça a mudança
, então A integral esquerda é avaliada nos limites, o que dá - Isolando
:
desde que o lado direito seja positivo (caso aqui satisfazível com os dados).
Tomando logaritmo:
Tomando logaritmo:
Esta é a expressão fechada para a pressão com compressibilidade constante
.
- Para a densidade em profundidade
, use . Substituindo a expressão de : Observação: essa forma racional é muito prática para calcular a densidade diretamente.
Passo 6
Aplicar as fórmulas do Passo 5 aos números dados (cálculo numérico detalhado):
-
Calcule o parâmetro adimensional
: Primeiro o numerador:Então -
Densidade a essa profundidade:Calculando:(Arredondei para quatro algarismos significativos por clareza.)
-
Pressão a essa profundidade:Substituindo números:Calculando
. Usando desenvolvimento em série ou calculadora mental aproximada, EntãoSomando(pequena correção), Se preferir com mais dígitos consistentes com passos anteriores, um valor numérico razoável é
Passo 7
Interpretação e comparação entre os itens (explicação didática do resultado):
- No item (a) assumimos que
é constante igual a . Isso dá . - No item (b) a densidade aumenta com a pressão (fluido comprime), e encontramos
e . - Comparação:
é maior que (diferença da ordem de ). - Por quê? Porque quando o fluido é compressível, a pressão adicional comprime o fluido aumentando sua densidade conforme descemos. A maior densidade nas camadas mais profundas aumenta o peso por unidade de altura da coluna, o que faz a pressão crescer mais do que no modelo incompressível (onde a densidade é mantida fixa). Em termos matemáticos, a dependência
torna a equação hidrostática não linear e produz um ligeiramente maior do que o .