A densidade da água em uma superfície livre onde a pressão é de 101325 Pa é aproximadamente 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
(a) Considerando a água como um fluido incompressível, determine a pressão da água a uma profundidade de 22 km .
(b) Considerando que o módulo de Bulk da água seja 2,2 \times 10^{9} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. Determine a densidade e a pressão a uma profundidade de 22 km . Despreze o efeito da temperatura. A pressão encontrada é maior ou menor que a pressão encontrada no item (a)? Explique.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá alguns dados. Vou listar explicitamente o que é pedido e o que é fornecido:
  • Perguntas:
    1. (a) Considerando a água incompressível, determinar a pressão a uma profundidade de 22\\ \mathrm{km}.
    2. (b) Considerando que o módulo Bulk da água seja 2{,}2\times 10^{9}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}, determinar a densidade e a pressão a 22\\ \mathrm{km}. Desprezar efeito da temperatura. Comparar a pressão obtida com a do item (a) e explicar se é maior ou menor e por quê.
  • Dados fornecidos:
    \text{densidade na superfície: }\rho_0 = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}í
\text{pressão na superfície: }p_0 = 101325\\ \mathrm{Pa}ãí
\text{profundidade: }h = 22\\ \mathrm{km} = 22000\\ \mathrm{m}
\text{módulo Bulk (compressibilidade): }K = 2{,}2\times 10^{9}\\ \mathrm{N/m^{2}}ó
\text{aceleração da gravidade (usar): }g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}çã

Passo 2

Entendimento físico e fórmulas básicas que vamos usar (aula rápida e concreta):
  • Pressão hidrostática: para uma coluna de fluido a uma profundidade h (assumindo densidade \rho constante no caso incompressível),
    p(h) = p_0 + \rho g h.
    Explicação: a pressão adicional além da pressão na superfície vem do peso da coluna de fluido acima da profundidade. O termo \rho g h é a força por unidade de área devido ao peso da coluna de altura h.
  • Definição do módulo Bulk K: é uma medida da resistência do fluido à compressão. Matematicamente,
    K = -V\,\frac{dp}{dV}.
    Como a densidade \rho = m/V, quando o volume muda, a densidade muda. A relação útil que resulta é
    \frac{d\rho}{\rho} = \frac{dp}{K},
    ou, integrando para variações finitas,
    \rho(p) = \rho_0\,e^{(p-p_0)/K}.
    Explicação: um aumento de pressão \Delta p causa um aumento relativo da densidade \Delta \rho/\rho \approx \Delta p/K (válido exatamente na formula exponencial se K é constante).
  • Para o fluido compressível, a equação de equilíbrio vertical (hidrostática) é
    \frac{dp}{dh} = \rho(h)\,g,
    onde h é a profundidade medida a partir da superfície (positivo para baixo). Como \rho depende de p, teremos uma equação diferencial que relaciona p e h.

Passo 3

Resolvendo o item (a) — água incompressível (passo a passo, sem pular contas):
  • Usamos a fórmula da pressão hidrostática para densidade constante: p(h) = p_0 + \rho_0 g h.
  • Substituindo os valores (cada número em TeX): p(22\\ \mathrm{km}) = 101325 + 1000\cdot 9{,}81 \cdot 22000\\ \mathrm{Pa}.
  • Calculemos a parte do peso da coluna: 1000\cdot 9{,}81 \cdot 22000 = 1000\cdot 22000 \cdot 9{,}81 = 22\,000\,000 \cdot 9{,}81 = 215\,820\,000\\ \mathrm{Pa}.
  • Somando a pressão de superfície: p(22\\ \mathrm{km}) = 215\,820\,000 + 101325 = 215\,921\,325\\ \mathrm{Pa}.
  • Em notação mais compacta, geralmente expressamos em megapascal: p(22\\ \mathrm{km}) \approx 2{,}159\times 10^{8}\\ \mathrm{Pa}\\ = 215{,}9\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Preparando para o item (b): montar a equação diferencial para o caso compressível e resolver passo a passo (ensino detalhado do método):
  • Sabemos que a densidade varia com a pressão segundo
    \rho(p) = \rho_0\,e^{(p-p_0)/K}.
    Explicação curta: esta expressão vem de integrar \frac{d\rho}{\rho} = \frac{dp}{K} entre p_0 e p.
  • A equação hidrostática em função da profundidade h (positiva para baixo) é
    \frac{dp}{dh} = \rho(h)\,g.
    Substituindo \rho(h)=\rho_0\,e^{(p-p_0)/K} obtemos a equação diferencial:
    \frac{dp}{dh} = g\,\rho_0\,e^{(p-p_0)/K}.
    Esta é uma equação separável em p e h.

Passo 5

Resolver a equação diferencial (separação de variáveis) e obter fórmula fechada para p(h) e \rho(h):
  • Separe variáveis: e^{-(p-p_0)/K}\,dp = g\,\rho_0\,dh.
  • Integre ambos os lados desde a superfície ( h=0,\,p=p_0) até profundidade h e pressão p(h): \int_{p_0}^{p(h)} e^{-(p-p_0)/K}\,dp = \int_{0}^{h} g\,\rho_0\,dh.
  • No lado esquerdo, faça a mudança u = p-p_0, então \int_{0}^{p(h)-p_0} e^{-u/K}\,du = g\,\rho_0\,h.A integral esquerda é -K e^{-u/K} avaliada nos limites, o que dá K\big(1 - e^{-(p(h)-p_0)/K}\big) = g\,\rho_0\,h.
  • Isolando p(h): 1 - e^{-(p(h)-p_0)/K} = \frac{g\,\rho_0\,h}{K},
e^{-(p(h)-p_0)/K} = 1 - \frac{g\,\rho_0\,h}{K},
desde que o lado direito seja positivo (caso aqui satisfazível com os dados).
Tomando logaritmo:
-(p(h)-p_0)/K = \ln\!\left(1 - \frac{g\,\rho_0\,h}{K}\right),
p(h) = p_0 - K \ln\!\left(1 - \frac{g\,\rho_0\,h}{K}\right).
Esta é a expressão fechada para a pressão com compressibilidade constante K.
  • Para a densidade em profundidade h, use \rho(h)=\rho_0 e^{(p(h)-p_0)/K}. Substituindo a expressão de p(h): \rho(h) = \rho_0\,\exp\!\left(\frac{p(h)-p_0}{K}\right) = \rho_0\,\exp\!\left[-\ln\!\left(1 - \frac{g\,\rho_0\,h}{K}\right)\right] = \frac{\rho_0}{1 - \dfrac{g\,\rho_0\,h}{K}}.Observação: essa forma racional é muito prática para calcular a densidade diretamente.

Passo 6

Aplicar as fórmulas do Passo 5 aos números dados (cálculo numérico detalhado):
  • Calcule o parâmetro adimensional \alpha = \dfrac{g\,\rho_0\,h}{K}:
    \alpha = \frac{9{,}81\cdot 1000 \cdot 22000}{2{,}2\times 10^{9}}.
    Primeiro o numerador:
    9{,}81\cdot 1000 \cdot 22000 = 9{,}81 \cdot 22\,000\,000 = 215\,820\,000.
    Então
    \alpha = \frac{215\,820\,000}{2{,}200\,000\,000} = 0{,}0981.
  • Densidade a essa profundidade:
    \rho(h) = \frac{\rho_0}{1-\alpha} = \frac{1000}{1-0{,}0981} = \frac{1000}{0{,}9019}.
    Calculando:
    \rho(22\\ \mathrm{km}) \approx 1109{,}7\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    (Arredondei para quatro algarismos significativos por clareza.)
  • Pressão a essa profundidade:
    p(h) = p_0 - K \ln(1-\alpha).
    Substituindo números:
    p(22\\ \mathrm{km}) = 101325 - 2{,}2\times 10^{9}\cdot \ln(1-0{,}0981).
    Calculando \ln(1-0{,}0981)=\ln(0{,}9019). Usando desenvolvimento em série ou calculadora mental aproximada,
    \ln(0{,}9019)\approx -0{,}1032\quad(\text{aproximação adequada aqui}).çã
    Então
    -K\ln(1-\alpha)\approx 2{,}2\times 10^{9}\cdot 0{,}1032 \approx 2{,}27\times 10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
    Somando p_0 (pequena correção),
    p(22\\ \mathrm{km}) \approx 2{,}27\times 10^{8}\\ \mathrm{Pa} = 227\\ \mathrm{MPa}.
    Se preferir com mais dígitos consistentes com passos anteriores, um valor numérico razoável é
    p(22\\ \mathrm{km}) \approx 2{,}27\times 10^{8}\\ \mathrm{Pa} \approx 227{,}2\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Interpretação e comparação entre os itens (explicação didática do resultado):
  • No item (a) assumimos que \rho é constante igual a \rho_0. Isso dá p_a \approx 215{,}9\\ \mathrm{MPa}.
  • No item (b) a densidade aumenta com a pressão (fluido comprime), e encontramos \rho_b \approx 1109{,}7\\ \mathrm{kg/m^3} e p_b \approx 227\\ \mathrm{MPa}.
  • Comparação: p_b é maior que p_a (diferença da ordem de \sim 10\\ \mathrm{MPa}).
  • Por quê? Porque quando o fluido é compressível, a pressão adicional comprime o fluido aumentando sua densidade conforme descemos. A maior densidade nas camadas mais profundas aumenta o peso por unidade de altura da coluna, o que faz a pressão crescer mais do que no modelo incompressível (onde a densidade é mantida fixa). Em termos matemáticos, a dependência \rho(p) torna a equação hidrostática não linear e produz um p(h) ligeiramente maior do que o p_0+\rho_0 g h.

Resposta

\text{(a) } p(22\\ \mathrm{km}) \approx 2{,}159\times 10^{8}\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx 215{,}9\\ \mathrm{MPa})\n
\text{(b) } \rho(22\\ \mathrm{km}) \approx 1109{,}7\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad p(22\\ \mathrm{km}) \approx 2{,}27\times 10^{8}\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx 227\\ \mathrm{MPa})\n
\text{Comentário: } p(22\\ \mathrm{km})\\ \text{do item (b) é maior que a do item (a) porque a água se comprime e sua densidade aumenta com a profundidade, aumentando o peso da coluna de água.}áéáá

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