Uma máquina recebe potência através de um eixo que segue a expressão 10 t^{2}[\mathrm{em} \mathrm{W}]. Se esta mesma máquina perde calor a uma taxa igual a 50 \sqrt{t}[\mathrm{em} \mathrm{W}]. Determine a expressão para a energia da máquina em função do tempo.

Passo 1

O enunciado pede que você determine a energia da máquina em função do tempo. As informações fornecidas são:
\text{Potência fornecida pelo eixo: }10\,t^{2}\\ \text{[W]}ê
\text{Taxa de perda de calor: }50\sqrt{t}=50\,t^{1/2}\\ \text{[W]}
Observação importante: o enunciado não dá uma condição inicial para a energia em t=0. Portanto teremos uma constante de integração (a energia inicial), que vou chamar de E(0).

Passo 2

Relação entre potência e energia: potência é a taxa de variação da energia no tempo. Em fórmula:
P(t)=\frac{dE}{dt}.
Aqui a potência líquida que aumenta a energia da máquina é a potência recebida menos a potência perdida. Logo
\frac{dE}{dt}=10\,t^{2}-50\,t^{1/2}.
Explicando devagar: cada termo está em watts (joules por segundo). A expressão à direita diz quantos joules por segundo a energia da máquina aumenta (positivo) ou diminui (negativo) em cada instante t.

Passo 3

Para obter E(t) integramos ambos os lados em relação a t. Usamos a linearidade da integral e a regra de potência:
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}\quad\text{para }n\neq -1.
Aplicando:
E(t)=\int\bigl(10\,t^{2}-50\,t^{1/2}\bigr)\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Calcule cada integral separadamente:
\int 10\,t^{2}\,dt = 10\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{10}{3}\,t^{3},
\int 50\,t^{1/2}\,dt = 50\cdot\frac{t^{3/2}}{3/2}=50\cdot\frac{2}{3}\,t^{3/2}=\frac{100}{3}\,t^{3/2}.
Como o termo de perda entra com sinal negativo na equação original, obtemos
E(t)=\frac{10}{3}\,t^{3}-\frac{100}{3}\,t^{3/2}+C.

Passo 4

Interpretando a constante C: avaliando em t=0 vemos que os dois termos com potências de t anulam-se, então
E(0)=C.
Portanto podemos escrever a solução geral explicitando a energia inicial:
E(t)=\frac{10}{3}\,t^{3}-\frac{100}{3}\,t^{3/2}+E(0).
Checagem rápida (boa prática): derivando essa expressão obtemos
\frac{dE}{dt}= \frac{10}{3}\cdot 3\,t^{2}-\frac{100}{3}\cdot\frac{3}{2}\,t^{1/2}=10\,t^{2}-50\,t^{1/2},
que coincide com a potência líquida dada — portanto está correto. As unidades de E(t) são joules (J), pois integramos watts (J/s) em relação ao tempo.

Resposta

E(t)=\frac{10}{3}\,t^{3}-\frac{100}{3}\,t^{3/2}+E(0)

Exercícios relacionados