Uma máquina recebe potência através de um eixo que segue a expressão
. Se esta mesma máquina perde calor a uma taxa igual a
. Determine a expressão para a energia da máquina em função do tempo.
Passo 1
O enunciado pede que você determine a energia da máquina em função do tempo. As informações fornecidas são:
Observação importante: o enunciado não dá uma condição inicial para a energia em
. Portanto teremos uma constante de integração (a energia inicial), que vou chamar de
.
Passo 2
Relação entre potência e energia: potência é a taxa de variação da energia no tempo. Em fórmula:
Aqui a potência líquida que aumenta a energia da máquina é a potência recebida menos a potência perdida. Logo
Explicando devagar: cada termo está em watts (joules por segundo). A expressão à direita diz quantos joules por segundo a energia da máquina aumenta (positivo) ou diminui (negativo) em cada instante
.
Passo 3
Para obter
integramos ambos os lados em relação a
. Usamos a linearidade da integral e a regra de potência:
Aplicando:
onde
é a constante de integração. Calcule cada integral separadamente:
Como o termo de perda entra com sinal negativo na equação original, obtemos
Passo 4
Interpretando a constante
: avaliando em
vemos que os dois termos com potências de
anulam-se, então
Portanto podemos escrever a solução geral explicitando a energia inicial:
Checagem rápida (boa prática): derivando essa expressão obtemos
que coincide com a potência líquida dada — portanto está correto. As unidades de
são joules (J), pois integramos watts (J/s) em relação ao tempo.