5.3 A densidade de corrente em um condutor cilíndrico de raio
é de:
Determine a corrente através da seção reta do condutor.
Passo 1
O enunciado dá a densidade de corrente no interior de um condutor cilíndrico de raio
:
O que se pede: determinar a corrente elétrica total que atravessa a seção reta (transversal) do condutor.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Entendimento do que é preciso calcular (fórmula): a corrente total
que atravessa a seção é a integral da densidade de corrente sobre a área da seção. Escrevemos isso como
onde
é o elemento de área da seção transversal e
é o vetor unitário na direção do eixo do condutor. Aqui
já está na direção
, então
é simplesmente a magnitude da componente
de
.
Explicando as variáveis:
é a densidade de corrente (A/m^2),
é a região circular de raio
,
é o elemento de área (m^2) na seção.
Passo 3
Escolha de coordenadas e elemento de área: por simetria circular usamos coordenadas cilíndricas. O elemento de área da seção transversal (plano perpendicular ao eixo
) em coordenadas polares/cilíndricas é
onde
é a coordenada radial (variando de
a
) e
é o ângulo polar (variando de
a
). Vou explicar: para um anel de raio
e espessura
, a sua área é comprimento
vezes espessura
; no diferencial isso dá
quando se integra em
.
Passo 4
Montando a integral com a expressão de
. Como
, temos
Aqui separamos o integral angular e o radial; observe que podemos fatorar constantes.
Passo 5
Simplificação da expressão exponencial e fatoração de constantes. Note que
Portanto
O integral em
é trivial:
. Então
Fatorando os números:
Passo 6
Cálculo do integral radial por substituição. Faço a substituição adimensional
Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Passo 7
Avaliação de
por integração por partes (vou mostrar passo a passo). Tome
e
. Então
e
. A fórmula de integração por partes é
Aplicando:
Agora o integral definido:
Calcule os termos:
no limite :
.
no limite :
.
Subtraindo (valor em 1 menos valor em 0) dá . Logo
no limite
no limite
Subtraindo (valor em 1 menos valor em 0) dá
Passo 8
Voltando ao integral radial:
Substituindo isso em
(veja o Passo 5),
Posso reescrever
como
, então