5.3 A densidade de corrente em um condutor cilíndrico de raio a é de:
\mathbf{J}=10 e^{-(1-\rho / a)} \mathbf{a}_{z} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}
Determine a corrente através da seção reta do condutor.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de corrente no interior de um condutor cilíndrico de raio a:
\mathbf{J}=10\,e^{-(1-\rho/a)}\mathbf{a}_z\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^2.
O que se pede: determinar a corrente elétrica total que atravessa a seção reta (transversal) do condutor.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) } \mathbf{J}\text{ tem apenas componente na direção } \mathbf{a}_z; \qquad \text{(ii) } \mathbf{J}\text{ depende só da coordenada radial } \rho; \qquad \text{(iii) } \text{raio do círculo da seção é } a.çãóíçãé

Passo 2

Entendimento do que é preciso calcular (fórmula): a corrente total I que atravessa a seção é a integral da densidade de corrente sobre a área da seção. Escrevemos isso como
I=\iint_{S}\mathbf{J}\cdot\mathbf{a}_z\,dS,
onde dS é o elemento de área da seção transversal e \mathbf{a}_z é o vetor unitário na direção do eixo do condutor. Aqui \mathbf{J} já está na direção \mathbf{a}_z, então \mathbf{J}\cdot\mathbf{a}_z é simplesmente a magnitude da componente z de \mathbf{J}.
Explicando as variáveis:
\mathbf{J} é a densidade de corrente (A/m^2), S é a região circular de raio a, dS é o elemento de área (m^2) na seção.

Passo 3

Escolha de coordenadas e elemento de área: por simetria circular usamos coordenadas cilíndricas. O elemento de área da seção transversal (plano perpendicular ao eixo z) em coordenadas polares/cilíndricas é
dS=\rho\,d\rho\,d\varphi,
onde \rho é a coordenada radial (variando de 0 a a) e \varphi é o ângulo polar (variando de 0 a 2\pi). Vou explicar: para um anel de raio \rho e espessura d\rho, a sua área é comprimento 2\pi\rho vezes espessura d\rho; no diferencial isso dá \rho\,d\rho\,d\varphi quando se integra em \varphi.

Passo 4

Montando a integral com a expressão de \mathbf{J}. Como \mathbf{J}\cdot\mathbf{a}_z=10\,e^{-(1-\rho/a)}, temos
I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} 10\,e^{-(1-\rho/a)}\,\rho\,d\rho\,d\varphi.
Aqui separamos o integral angular e o radial; observe que podemos fatorar constantes.

Passo 5

Simplificação da expressão exponencial e fatoração de constantes. Note que
e^{-(1-\rho/a)}=e^{-1+\rho/a}=e^{-1}e^{\rho/a}.
Portanto
I=10e^{-1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} e^{\rho/a}\,\rho\,d\rho\,d\varphi.
O integral em \varphi é trivial: \int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi. Então
I=10e^{-1}\cdot 2\pi \int_{0}^{a} e^{\rho/a}\,\rho\,d\rho.
Fatorando os números:
I=20\pi e^{-1}\int_{0}^{a} \rho e^{\rho/a}\,d\rho.

Passo 6

Cálculo do integral radial por substituição. Faço a substituição adimensional
u=\frac{\rho}{a}\quad\Rightarrow\quad \rho=a u,\qquad d\rho=a\,du.
Quando \rho vai de 0 a a, u vai de 0 a 1. Assim
\int_{0}^{a} \rho e^{\rho/a}\,d\rho = \int_{0}^{1} (a u) e^{u}\, (a\,du) = a^2 \int_{0}^{1} u e^{u}\,du.

Passo 7

Avaliação de \int_{0}^{1} u e^{u}\,du por integração por partes (vou mostrar passo a passo). Tome f=u e dg=e^{u}du. Então df=du e g=e^{u}. A fórmula de integração por partes é
\int f\,dg = f g - \int g\,df.
Aplicando:
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int e^{u}\,du = u e^{u} - e^{u} + C = (u-1)e^{u}+C.
Agora o integral definido:
\int_{0}^{1} u e^{u}\,du = \big[(u-1)e^{u}\big]_{0}^{1}.
Calcule os termos:
no limite u=1: (1-1)e^{1}=0.
no limite u=0: (0-1)e^{0}=-1.
Subtraindo (valor em 1 menos valor em 0) dá 0-(-1)=1. Logo
\int_{0}^{1} u e^{u}\,du = 1.

Passo 8

Voltando ao integral radial:
\int_{0}^{a} \rho e^{\rho/a}\,d\rho = a^{2}\cdot 1 = a^{2}.
Substituindo isso em I (veja o Passo 5),
I=20\pi e^{-1}\cdot a^{2}.
Posso reescrever e^{-1} como 1/e, então
I=\frac{20\pi a^{2}}{e}\\ \mathrm{A}.

Resposta

\dfrac{20\pi a^{2}}{e}\\ \mathrm{A}

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