A densidade de corrente J no interior de um fio cilíndrico longo de raio
é paralela ao eixo central e uniforme com um valor de
. Determine o módulo do campo magnético para uma distância radial a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletromagnetismo envolvendo a densidade de corrente em um fio cilíndrico. O enunciado diz que a densidade de corrente $ J $ dentro de um fio longo de raio $ R = 3 mm $ é paralela ao eixo central e igual a $ J = 200 , A/m^2 $. Nosso objetivo é encontrar o módulo do campo magnético $ B $ a uma distância radial $ r = \frac{R}{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um condutor com a corrente que passa por ele. A Lei de Ampère é dada por:
Onde:
- $ \vec{B} $ é o campo magnético,
- $ d\vec{l} $ é um elemento de caminho fechado,
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T·m/A $),
- $ I_{enc} $ é a corrente total que passa pelo caminho escolhido.
Passo 3
Como o fio é cilíndrico e o campo magnético é simétrico, podemos escolher um caminho de integração na forma de um círculo concêntrico com o fio, a uma distância $ r = \frac{R}{2} $. Nesse caso, o campo magnético $ B $ tem a mesma magnitude em todos os pontos do caminho e é perpendicular a $ d\vec{l} $.
Então, a integral da Lei de Ampère simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar $ I_{enc} $, a corrente total que passa pelo caminho de raio $ r = \frac{R}{2} $. Sabemos que a densidade de corrente $ J $ é uniforme e igual a $ 200 , A/m^2 $. A corrente encerrada é então:
A área do círculo de raio $ r $ é:
Portanto:
Passo 5
Substituindo $ I_{enc} $ na fórmula da Lei de Ampère:
Vamos resolver para $ B $:
Simplificando:
Agora, substituímos $ R = 3 \times 10^{-3} , m $ e $ r = \frac{R}{2} = 1.5 \times 10^{-3} , m $:
Resposta
Após calcular, o módulo do campo magnético $ B $ a uma distância $ r = \frac{R}{2} $ é aproximadamente $ 1.51 \times 10^{-4} , T $.