Uma densidade superficial uniforme de carga, \rho_{s}, está distribuída em uma casca esférica de raio b, centrada na origem e imersa no espaço livre. (a) Determine o potencial absoluto em qualquer parte, com o zero de referência no infinito. (c) Calcule a energia armazenada no campo elétrico e mostre que os resultados das partes (b) e (c) são idênticos.

Passo 1

O enunciado dá: uma casca esférica fina, de raio \,b\,, centrada na origem, com densidade superficial de carga uniforme \,\rho_{s}\,, imersa no espaço livre (vácuo). O potencial absoluto deve ser determinado em qualquer ponto do espaço, tomando o zero em infinito. Em seguida (parte (c)) pede-se a energia armazenada no campo elétrico e mostrar que os resultados das partes (b) e (c) coincidem.
Informações relevantes fornecidas:
  • Raio da casca: \,b\,.
  • Densidade superficial de carga: \,\rho_{s}\, (constante).
  • Meio: espaço livre com permissividade \,\varepsilon_{0}\,.
  • Referência do potencial: V(\infty)=0.
  • Pedidos: (a) V(\mathbf r) em todo o espaço; (b) (inferimos) energia calculada a partir da distribuição de cargas (fórmula com \rho ou \sigma); (c) energia calculada a partir da densidade de energia do campo (\varepsilon_{0}/2)E^{2}. Mostrar que (b) e (c) dão o mesmo resultado.

Passo 2

Primeiro vamos achar o campo elétrico [\mathbf E), porque com simetria esférica fica fácil e depois obtemos o potencial por integração. Vou usar o Teorema de Gauss (explico antes de aplicar):
O que é o Teorema de Gauss (rápido explicando): para um fechamento gaussiano qualquer,
\oint_{\partial V}\mathbf E\cdot d\mathbf A=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total encerrada pela superfície. Em problemas com simetria esférica escolhemos uma superfície esférica concêntrica para simplificar: \mathbf E é radial e tem mesmo módulo em todo o raio r.
Agora aplico Gauss para duas regiões:
  • Para \,r<b\, (superfície gaussiana de raio r<b): a casca é fina e toda a carga está em r=b, logo a carga dentro é zero: Q_{\text{int}}=0. Portanto
\oint \mathbf E\cdot d\mathbf A = E(r)\,4\pi r^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad E(r)=0 \quad\text{para } r<b.
  • Para \,r>b\, (raio da superfície gaussiana r>b): a carga total encerrada é a carga total da casca. A carga total Q é a densidade superficial vezes a área da esfera:
Q = \sigma \times 4\pi b^{2}.
Aqui a letra do enunciado é \rho_{s} para densidade superficial; vou usá-la como \sigma=\rho_{s}. Então
Q = 4\pi b^{2}\rho_{s}.
Aplicando Gauss,
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\quad\text{para } r>b.
Resumo do \mathbf E radial:
E(r)=\begin{cases} 0, & r<b,\\[6pt] \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r^{2}}, & r\ge b, \end{cases}
com (Q=4\pi b^{2}\rho_{s}].]

Passo 3

Relação entre \mathbf E\) e o potencial escalar \(V\): para campo radial e dependente só de \(r\), \[\mathbf E(r) = -\nabla V(r) \quad\Rightarrow\quad E(r)=-\frac{dV}{dr},
onde E(r) é o módulo da componente radial saindo da origem.
Tomando a referência V(\infty)=0, obtemos V(r) integrando:
  • Para r\ge b: integramos de \infty até r:
V(r) = -\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr' .
Substituindo E(r')=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r'^{2}},
V(r) = -\int_{\infty}^{r} \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r'^{2}}\,dr' = -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left[ -\frac{1}{r'}\right]_{\infty}^{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r}.
Logo, para r\ge b,
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r}.
  • Para r<b: dentro da casca E=0, então dV/dr=0 e o potencial é constante. Essa constante é igual ao valor na superfície r=b (continuidade do potencial numa superfície com densidade de carga finita; só o campo normal tem descontinuidade). Então
V(r)=V(b)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{b}\quad\text{para } r<b.
Portanto o potencial em todo o espaço é:
V(r)=\begin{cases} \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{b}, & r<b,\\[8pt] \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r}, & r\ge b, \end{cases}
com (Q=4\pi b^{2}\rho_{s}].
Se preferir em termos de \rho_{s}, fazendo Q=4\pi b^{2}\rho_{s}, temos
V(r)=\begin{cases} \dfrac{b\,\rho_{s}}{\varepsilon_{0}}, & r<b,\\[6pt] \dfrac{b^{2}\,\rho_{s}}{\varepsilon_{0}}\dfrac{1}{r}, & r\ge b. \end{cases}]

Passo 4

Agora calculamos a energia por dois métodos (parte (b) — energia via distribuição de cargas — e parte (c) — energia via densidade do campo) e comparamos.
Primeiro explico a fórmula usada no método (b): energia eletrostática total pode ser escrita como
U=\frac{1}{2}\int \rho(\mathbf r)\,V(\mathbf r)\,d^{3}r,
para cargas volumétricas. Para carga superficial \sigma numa superfície S, a expressão análoga é
U=\frac{1}{2}\int_{S}\sigma(\mathbf r)\,V(\mathbf r)\,dA.
A ideia física: ao montar a distribuição de cargas, cada pequena carga \sigma\,dA é colocada no potencial já criado pelas cargas já colocadas; o fator 1/2 evita duplicação.
Aplicando ao nosso caso (casca uniforme): \sigma=\rho_{s} e V na superfície é V(b)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{b}. Então
U_{\,\text{(b)}}=\frac{1}{2}\int_{S}\sigma\,V(b)\,dA = \frac{1}{2}\sigma V(b) \int_{S} dA = \frac{1}{2}\sigma V(b)\,4\pi b^{2}.
Substituindo \sigma=\rho_{s} e Q=4\pi b^{2}\rho_{s}, note que \sigma 4\pi b^{2}=Q. Assim
U_{\,\text{(b)}}=\frac{1}{2} Q\,V(b) = \frac{1}{2} Q\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{b}\right) = \frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\,b}.
Em termos de \rho_{s}, usando Q=4\pi b^{2}\rho_{s},
U_{\,\text{(b)}}=\frac{(4\pi b^{2}\rho_{s})^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\,b} = \frac{16\pi^{2} b^{4}\rho_{s}^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\,b} = \frac{2\pi b^{3}\rho_{s}^{2}}{\varepsilon_{0}}.

Passo 5

Agora o método (c): energia armazenada no campo é dada por
U_{\,\text{\text{(c)}}}=\int_{\text{todo espaço}} \frac{\varepsilon_{0}}{2}E^{2}(\mathbf r)\,d^{3}r.ç
Explico: a densidade de energia eletrostática local é u(\mathbf r)=\dfrac{\varepsilon_{0}}{2}E^{2}(\mathbf r). Para nosso problema o campo existe só para r\ge b, e é radial com módulo E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r^{2}}.
Montamos a integral em coordenadas esféricas (elemento de volume d^{3}r=4\pi r^{2}dr após angular integração):
U_{\,\text{\text{(c)}}}=\int_{b}^{\infty} \frac{\varepsilon_{0}}{2}\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\right)^{2} 4\pi r^{2}\,dr.
Agora simplificamos passo a passo:
\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\right)^{2} = \frac{Q^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}}\frac{1}{r^{4}}.
Multiplicando por \dfrac{\varepsilon_{0}}{2} e por 4\pi r^{2}:
\frac{\varepsilon_{0}}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{16\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}}\frac{1}{r^{4}}\cdot 4\pi r^{2} = \frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{1}{r^{2}}.
Portanto a integral fica
U_{\,\text{\text{(c)}}}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\int_{b}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}\,dr.
A integral é direta:
\int_{b}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}\,dr = \left[-\frac{1}{r}\right]_{b}^{\infty}=\frac{1}{b}.
Logo
U_{\,\text{\text{(c)}}}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{b}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\,b}.
Em termos de \rho_{s} isso volta a ser
U_{\,\text{\text{(c)}}}=\frac{2\pi b^{3}\rho_{s}^{2}}{\varepsilon_{0}},
exatamente igual ao resultado do passo anterior.

Passo 6

Conclusão e comentário didático final: calculamos o potencial \,V(r)\, em todo o espaço e duas expressões para a energia total — uma obtida integrando \tfrac{1}{2}\sigma V sobre a superfície (método de montagem das cargas) e outra obtida integrando a densidade de energia do campo \tfrac{\varepsilon_{0}}{2}E^{2} pelo espaço. Ambas coincidem, como exigido pela consistência da teoria eletrostática. Isso é uma verificação prática do princípio geral de equivalência entre as formas de expressar a energia eletrostática.

Resposta

(a) V(r)=\begin{cases} \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{b}=\dfrac{b\,\rho_{s}}{\varepsilon_{0}}, & r<b,\\[8pt] \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r}=\dfrac{b^{2}\,\rho_{s}}{\varepsilon_{0}}\dfrac{1}{r}, & r\ge b, \end{cases}
onde Q=4\pi b^{2}\rho_{s}.
(b) Energia obtida por \tfrac{1}{2}\int \sigma V\,dA:
U_{\,\text{(b)}}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\,b}=\frac{2\pi b^{3}\rho_{s}^{2}}{\varepsilon_{0}}.
(c) Energia obtida por \int (\varepsilon_{0}/2)E^{2}d^{3}r:
U_{\,\text{\text{(c)}}}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\,b}=\frac{2\pi b^{3}\rho_{s}^{2}}{\varepsilon_{0}}.]

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