Uma densidade superficial uniforme de carga, \rho_{s}, está distribuída em uma casca esférica de raio b, centrada na origem e imersa no espaço livre. (a) Determine o potencial absoluto em qualquer parte, com o zero de referência no infinito. (c) Calcule a energia armazenada no campo elétrico e mostre que os resultados das partes (b) e (c) são idênticos.
Passo 1
O enunciado dá: uma casca esférica fina, de raio \,b\,, centrada na origem, com densidade superficial de carga uniforme \,\rho_{s}\,, imersa no espaço livre (vácuo). O potencial absoluto deve ser determinado em qualquer ponto do espaço, tomando o zero em infinito. Em seguida (parte (c)) pede-se a energia armazenada no campo elétrico e mostrar que os resultados das partes (b) e (c) coincidem.
Informações relevantes fornecidas:
Raio da casca: \,b\,.
Densidade superficial de carga: \,\rho_{s}\, (constante).
Meio: espaço livre com permissividade \,\varepsilon_{0}\,.
Referência do potencial: V(\infty)=0.
Pedidos: (a) V(\mathbf r) em todo o espaço; (b) (inferimos) energia calculada a partir da distribuição de cargas (fórmula com \rho ou \sigma); (c) energia calculada a partir da densidade de energia do campo (\varepsilon_{0}/2)E^{2}. Mostrar que (b) e (c) dão o mesmo resultado.
Passo 2
Primeiro vamos achar o campo elétrico [\mathbf E), porque com simetria esférica fica fácil e depois obtemos o potencial por integração. Vou usar o Teorema de Gauss (explico antes de aplicar):
O que é o Teorema de Gauss (rápido explicando): para um fechamento gaussiano qualquer,
onde Q_{\text{int}} é a carga total encerrada pela superfície. Em problemas com simetria esférica escolhemos uma superfície esférica concêntrica para simplificar: \mathbf E é radial e tem mesmo módulo em todo o raio r.
Agora aplico Gauss para duas regiões:
Para \,r<b\, (superfície gaussiana de raio r<b): a casca é fina e toda a carga está em r=b, logo a carga dentro é zero: Q_{\text{int}}=0. Portanto
Para \,r>b\, (raio da superfície gaussiana r>b): a carga total encerrada é a carga total da casca. A carga total Q é a densidade superficial vezes a área da esfera:
Q = \sigma \times 4\pi b^{2}.
Aqui a letra do enunciado é \rho_{s} para densidade superficial; vou usá-la como \sigma=\rho_{s}. Então
Relação entre \mathbf E\) e o potencial escalar \(V\): para campo radial e dependente só de \(r\),
\[\mathbf E(r) = -\nabla V(r) \quad\Rightarrow\quad E(r)=-\frac{dV}{dr},
onde E(r) é o módulo da componente radial saindo da origem.
Tomando a referência V(\infty)=0, obtemos V(r) integrando:
Para r<b: dentro da casca E=0, então dV/dr=0 e o potencial é constante. Essa constante é igual ao valor na superfície r=b (continuidade do potencial numa superfície com densidade de carga finita; só o campo normal tem descontinuidade). Então
Se preferir em termos de \rho_{s}, fazendo Q=4\pi b^{2}\rho_{s}, temos
V(r)=\begin{cases} \dfrac{b\,\rho_{s}}{\varepsilon_{0}}, & r<b,\\[6pt] \dfrac{b^{2}\,\rho_{s}}{\varepsilon_{0}}\dfrac{1}{r}, & r\ge b. \end{cases}]
Passo 4
Agora calculamos a energia por dois métodos (parte (b) — energia via distribuição de cargas — e parte (c) — energia via densidade do campo) e comparamos.
Primeiro explico a fórmula usada no método (b): energia eletrostática total pode ser escrita como
A ideia física: ao montar a distribuição de cargas, cada pequena carga \sigma\,dA é colocada no potencial já criado pelas cargas já colocadas; o fator 1/2 evita duplicação.
Aplicando ao nosso caso (casca uniforme): \sigma=\rho_{s} e V na superfície é V(b)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{b}. Então
U_{\,\text{(b)}}=\frac{1}{2}\int_{S}\sigma\,V(b)\,dA = \frac{1}{2}\sigma V(b) \int_{S} dA = \frac{1}{2}\sigma V(b)\,4\pi b^{2}.
Substituindo \sigma=\rho_{s} e Q=4\pi b^{2}\rho_{s}, note que \sigma 4\pi b^{2}=Q. Assim
Explico: a densidade de energia eletrostática local é u(\mathbf r)=\dfrac{\varepsilon_{0}}{2}E^{2}(\mathbf r). Para nosso problema o campo existe só para r\ge b, e é radial com módulo E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r^{2}}.
Montamos a integral em coordenadas esféricas (elemento de volume d^{3}r=4\pi r^{2}dr após angular integração):
Conclusão e comentário didático final: calculamos o potencial \,V(r)\, em todo o espaço e duas expressões para a energia total — uma obtida integrando \tfrac{1}{2}\sigma V sobre a superfície (método de montagem das cargas) e outra obtida integrando a densidade de energia do campo \tfrac{\varepsilon_{0}}{2}E^{2} pelo espaço. Ambas coincidem, como exigido pela consistência da teoria eletrostática. Isso é uma verificação prática do princípio geral de equivalência entre as formas de expressar a energia eletrostática.