1. Densidade variável Um sólido é delimitado abaixo pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e acima pelo plano z=1. Encontre o centro de massa e o momento de inércia em relação ao eixo z, se a densidade for
    a. \delta(r, \theta, z)=z
    b. \delta(r, \theta, z)=z^{2}.

Passo 1

O sólido é definido por abaixo o cone z=\sqrt{x^2+y^2} e acima o plano z=1. O conteúdo é cálculo de centro de massa e momento de inércia usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar expressar a região em (r,\theta,z), montar as integrais de massa, de momento e de inércia e calcular para cada densidade.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos z=\sqrt{x^2+y^2}\iff z=r e o plano z=1. Logo a região é
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le1,\quad r\le z\le1.
As fórmulas gerais são
M=\iiint_{\mathcal R}\delta(r,\theta,z)\,dV, \qquad \bar z=\frac1M\iiint_{\mathcal R}z\,\delta(r,\theta,z)\,dV, \qquad I_z=\iiint_{\mathcal R}(x^2+y^2)\,\delta(r,\theta,z)\,dV =\iiint_{\mathcal R}r^2\,\delta(r,\theta,z)\,dV,
com dV=r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

(a) Para \delta=z calculamos a massa
M_a =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{r}^{1}z\,(r)\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{1}r\Bigl[\frac{z^2}{2}\Bigr]_{z=r}^{1}dr =2\pi\int_0^1r\frac{1-r^2}{2}dr =\pi\int_0^1r(1-r^2)dr =\frac\pi4.

Passo 4

(a) Ainda com \delta=z, o numerador para \bar z é
\iiint z\cdot\delta\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{r}^{1}z^2\,r\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_0^1r\frac{1-r^3}{3}dr =\frac{2\pi}{3}\Bigl(\tfrac12-\tfrac15\Bigr) =\frac\pi5.
Logo
\bar z_a=\frac{\pi/5}{\pi/4}=\frac{4}{5}.

Passo 5

(a) O momento de inércia em relação a z é
I_{z,a} =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{r}^{1}r^2\,(z)\,r\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_0^1r^3\frac{1-r^2}{2}dr =\pi\int_0^1r^3(1-r^2)dr =\frac\pi{12}.

Passo 6

(b) Para \delta=z^2 a massa é
M_b =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{r}^{1}z^2\,r\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_0^1r\frac{1-r^3}{3}dr =\frac{2\pi}{3}\Bigl(\tfrac12-\tfrac15\Bigr) =\frac\pi5.

Passo 7

(b) O numerador para \bar z com \delta=z^2 é
\iiint z\cdot\delta\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{r}^{1}z^3\,r\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_0^1r\frac{1-r^4}{4}dr =\frac{\pi}{2}\Bigl(\tfrac12-\tfrac16\Bigr) =\frac\pi6,
logo
\bar z_b=\frac{\pi/6}{\pi/5}=\frac{5}{6}.

Passo 8

(b) O momento de inércia para \delta=z^2 é
I_{z,b} =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{r}^{1}r^2\,z^2\,r\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_0^1r^3\frac{1-r^3}{3}dr =\frac{2\pi}{3}\Bigl(\tfrac14-\tfrac17\Bigr) =\frac\pi{14}.

Resposta

(a) \displaystyle\bar x=\bar y=0, \bar z=\tfrac45 e I_{z}=\tfrac\pi{12}.
(b) \displaystyle\bar x=\bar y=0, \bar z=\tfrac56 e I_{z}=\tfrac\pi{14}.

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