- Densidade variável Um sólido é delimitado abaixo pelo cone
e acima pelo plano
. Encontre o centro de massa e o momento de inércia em relação ao eixo
, se a densidade for
a.
b.
.
a.
b.
Passo 1
O sólido é definido por abaixo o cone
e acima o plano
. O conteúdo é cálculo de centro de massa e momento de inércia usando coordenadas cilíndricas. Vamos precisar expressar a região em
, montar as integrais de massa, de momento e de inércia e calcular para cada densidade.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
e o plano
. Logo a região é
As fórmulas gerais são
com
.
Passo 3
(a) Para
calculamos a massa
Passo 4
(a) Ainda com
, o numerador para
é
Logo
Passo 5
(a) O momento de inércia em relação a
é
Passo 6
(b) Para
a massa é
Passo 7
(b) O numerador para
com
é
logo
Passo 8
(b) O momento de inércia para
é
Resposta
(a)
,
e
(b) ,
e
(b)