Dentre os números 3^{2^{5}} e \left(3^{2}\right)^{5}, qual é maior?

Passo 1

O enunciado nos dá dois números e pergunta qual é maior:
  • Primeiro número: 3^{2^{5}}.
  • Segundo número: \left(3^{2}\right)^{5}.
    A pergunta é: dentre esses dois, qual é o maior?

Passo 2

Entender a precedência de potências: em 3^{2^{5}} a potência 2^{5} é calculada primeiro (exponenciação é associativa à direita). Calculemos 2^{5}:
2^{5}=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32.

Passo 3

Portanto o primeiro número é
3^{2^{5}}=3^{32}.

Passo 4

Agora simplificar o segundo número usando a regra “potência de potência”:
\left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c}.
Aplicando com a=3, b=2, c=5:
\left(3^{2}\right)^{5}=3^{2\cdot5}=3^{10}.

Passo 5

Comparar 3^{32} e 3^{10}. Como a base 3 é maior que 1, a função x\mapsto 3^{x} é estritamente crescente: expoente maior dá valor maior. Como
32>10,
segue que
3^{32}>3^{10}.
(Exemplo concreto: 3^{3}=27>3^{2}=9, ilustra que aumentar o expoente aumenta o valor quando a base >1.)

Passo 6

Conclusão final: entre os dois números dados, 3^{2^{5}} é o maior, porque equivale a 3^{32} enquanto o outro é 3^{10}.

Resposta

3^{2^{5}}>\left(3^{2}\right)^{5}

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