Dentre as opções a seguir, a ÚNICA que não fornece um subespaço vetorial do espaço
é:
a) o conjunto vazio;
b) o espaço nulo;
c) as retas que passam pela origem de
;
d) os planos que passam pela origem de
;
e) o próprio
.
a) o conjunto vazio;
b) o espaço nulo;
c) as retas que passam pela origem de
d) os planos que passam pela origem de
e) o próprio
Passo 1
O enunciado pede para identificar qual das opções não é um subespaço vetorial de
. O conteúdo aqui é a definição de subespaço vetorial e o que precisamos usar são os três critérios padrões: conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Os critérios para um subconjunto
ser um subespaço vetorial são:
1. .
2. Para quaisquer , tem–se
.
3. Para qualquer e escalar
, tem–se
.
1.
2. Para quaisquer
3. Para qualquer
Passo 3
Analisando a opção (a), o conjunto vazio
:
Não existe vetor nenhum em , em particular
. Logo falha o critério 1. Portanto
não é subespaço vetorial.
Não existe vetor nenhum em
Passo 4
Analisando a opção (b), o espaço nulo
:
- Contém
. - Soma de
permanece em . - Para todo
, .
Logo satisfaz todos os critérios e é subespaço.
Passo 5
Analisando a opção (c), as retas que passam pela origem:
Qualquer reta com
contém
(caso
) e é fechada sob soma e escalar, pois
e
.
Portanto cada reta pela origem é subespaço.
Qualquer reta
Portanto cada reta pela origem é subespaço.
Passo 6
Analisando a opção (d), os planos que passam pela origem:
Um plano pela origem é dado por
Um plano pela origem é dado por
com
. Esse conjunto contém
e, por linearidade da equação, é fechado sob soma e multiplicação escalar. Logo é subespaço.
Passo 7
Analisando a opção (e), o próprio
:
É subespaço de si mesmo, pois obviamente contém e é fechado sob as operações do próprio espaço.
É subespaço de si mesmo, pois obviamente contém
Passo 8
Concluímos que a única opção que não satisfaz os critérios de subespaço vetorial é o conjunto vazio.
Resposta
(a)