Dentre as opções a seguir, a ÚNICA que não fornece um subespaço vetorial do espaço \mathbb{R}^{3} é:
a) o conjunto vazio;
b) o espaço nulo;
c) as retas que passam pela origem de \mathbb{R}^{3};
d) os planos que passam pela origem de \mathbb{R}^{3};
e) o próprio \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das opções não é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. O conteúdo aqui é a definição de subespaço vetorial e o que precisamos usar são os três critérios padrões: conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Os critérios para um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^3 ser um subespaço vetorial são:
1. \mathbf{0}\in W.
2. Para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in W, tem–se \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
3. Para qualquer \mathbf{u}\in W e escalar c\in\mathbb{R}, tem–se c\,\mathbf{u}\in W.

Passo 3

Analisando a opção (a), o conjunto vazio \emptyset:
Não existe vetor nenhum em \emptyset, em particular \mathbf{0}\notin\emptyset. Logo falha o critério 1. Portanto \emptyset não é subespaço vetorial.

Passo 4

Analisando a opção (b), o espaço nulo \{\mathbf{0}\}:
  1. Contém \mathbf{0}.
  2. Soma de \mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0} permanece em \{\mathbf{0}\}.
  3. Para todo c\in\mathbb{R}, c\,\mathbf{0}=\mathbf{0}.
    Logo satisfaz todos os critérios e é subespaço.

Passo 5

Analisando a opção (c), as retas que passam pela origem:
Qualquer reta L=\{t\,\mathbf{v}\mid t\in\mathbb{R}\} com \mathbf{v}\neq\mathbf{0} contém \mathbf{0} (caso t=0) e é fechada sob soma e escalar, pois \,t_1\mathbf{v}+t_2\mathbf{v}=(t_1+t_2)\mathbf{v} e c\,(t\,\mathbf{v})=(c\,t)\mathbf{v}.
Portanto cada reta pela origem é subespaço.

Passo 6

Analisando a opção (d), os planos que passam pela origem:
Um plano pela origem é dado por
P=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid a\,x+b\,y+c\,z=0\},
com (a,b,c)\neq(0,0,0). Esse conjunto contém \mathbf{0} e, por linearidade da equação, é fechado sob soma e multiplicação escalar. Logo é subespaço.

Passo 7

Analisando a opção (e), o próprio \mathbb{R}^3:
É subespaço de si mesmo, pois obviamente contém \mathbf{0} e é fechado sob as operações do próprio espaço.

Passo 8

Concluímos que a única opção que não satisfaz os critérios de subespaço vetorial é o conjunto vazio.

Resposta

(a)

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