Dentre as transformações a seguir, verifiques quais são lineares:
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear candidata
definida por
A pergunta é: verificar se essa transformação é linear (ou seja, responder “é linear” ou “não é linear”). As informações relevantes que temos são apenas a fórmula explícita de
.]
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar claramente o que significa “ser linear” (passo didático importante): uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Se preferir, verificar que ambas valem é equivalente a mostrar que
preserva combinações lineares (ou seja,
para todos
). Vou mostrar as duas propriedades de forma bem explícita e também dar uma visão alternativa (escrever
como combinação linear de matrizes constantes), porque isso costuma deixar tudo mais claro na prova.
Passo 3
Escrever
como combinação linear de duas matrizes constantes. Observe que
Chame
Então
Explicação didática curta: escrever a transformação nessa forma já é um forte indício de linearidade, porque a passagem
é obviamente linear nas coordenadas
: somar vetores ou multiplicar por escalar entra diretamente nos coeficientes
e
.]
Passo 4
Verificação explícita da aditividade
.
Sejam
e
. Então
e, usando a forma
,
Pelo distributivo para matrizes,
Mas as duas parcelas são exatamente
e
. Portanto
Aqui usei propriedades básicas da multiplicação escalar e da adição em espaços de matrizes (que funcionam igualzinho às do espaço vetorial).
Passo 5
Verificação explícita da homogeneidade
.
Para
e
,
Novamente usei a distributividade do escalar em matrizes. Isso mostra a propriedade de homogeneidade para todo escalar
.
Passo 6
Resumo das duas verificações: como mostramos que tanto a aditividade quanto a homogeneidade valem para todos vetores de
e todo escalar, concluímos que
é linear.
Dica extra (útil em provas): outra forma totalmente equivalente e mecânica de ver isso é “vetorizar” a matriz imagem e escrever
como multiplicação por uma matriz
. Se tomarmos a ordem de entradas
, então
Uma transformação que é dada por multiplicação por matriz é linear por definição, então isso é mais uma confirmação. Mas para a sua prova, mostrar a aditividade e a homogeneidade como fiz nos passos anteriores já é suficiente e direto.]
Resposta
T é linear.