Para os subespaços U e V de R^{3} nos itens abaixo, determine U \cap V e U+V. Indique qual é soma direta.
a. \quad U=[(1,0,1),(0,1,1) e V=[(1,1,1)].
b. U=[(1,0,1),(0,1,1) e V=[(1,2,3)].
c. U=\left\{(x, y, z) \in \mathrm{R}^{3} \mid z=0\right\} e V=[(0,0,1)].
d. \quad U=\left\{(x, y, z) \in \mathrm{R}^{3} \mid x+y=0\right\} e V=[(2,-2,1)].
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas em cada item (vou pegar os vetores exatamente como escritos no enunciado).
O que é pedido para cada item: determinar U\cap V e U+V, e dizer se a soma é direta.
Item (a):
U=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}.
V=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.
Item (b):
U=\operatorname{span}\{(1,0,1),(0,1,1)\}.
V=\operatorname{span}\{(1,2,3)\}.
Item (c):
U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z=0\}.
V=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}.
Item (d):
U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y=0\}.
V=\operatorname{span}\{(2,-2,1)\}.
Observação sobre notação que vou usar: \operatorname{span}\{v_1,\dots\} é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores; uma soma direta U\oplus V ocorre exatamente quando U\cap V=\{(0,0,0)\}.
Passo 2
Método geral (explicando passo a passo, bem didático). Para encontrar U\cap V quando U e V são gerados por vetores:
Escrevo um vetor genérico de U como combinação linear dos geradores de U.
Escrevo um vetor genérico de V como combinação linear dos geradores de V.
Igualo as duas expressões componente a componente e resolvo para as incógnitas. As soluções me dão os vetores em comum.
Para U+V: é simplesmente \operatorname{span} de todos os vetores geradores (a união das bases geradoras). Posso simplificar escrevendo U+V=\operatorname{span}\{\text{vetores de }U\cup\text{vetores de }V\} e, se necessário, determinar a dimensão eliminando dependências lineares. A soma é direta se e somente se U\cap V=\{(0,0,0)\}.
Passo 3
Resolução do item (a): [U=\operatorname{span}{u_1,u_2}) com u_1=(1,0,1), u_2=(0,1,1); V=\operatorname{span}\{v\} com v=(1,1,1).
Encontrar U\cap V. Escrevo um vetor genérico de U e um de V e igualo:
Das duas primeiras equações \alpha=t\] e \(\beta=t. Substituindo na terceira:
\alpha+\beta = t \Longrightarrow t+t = t \Longrightarrow 2t = t \Longrightarrow t=0.
Logo \alpha=\beta=0. Portanto o único vetor comum é o vetor nulo. Conclusão:
U\cap V=\{(0,0,0)\}.
Determinar U+V. Os geradores juntos são u_1,u_2,v. Notamos que \dim U=2 (porque u_1 e u_2 são linearmente independentes) e que v\notin U (pois se v\in U teríamos interseção não trivial, contradizendo o item anterior). Assim a adição de v aumenta a dimensão para 3. Portanto
U+V=\mathbb{R}^3.
Soma direta? Sim, porque U\cap V=\{0\}. Então U\oplus V=\mathbb{R}^3.]
Passo 4
Resolução do item (b): mesmos [u_1=(1,0,1)), u_2=(0,1,1) e agora v=(1,2,3).
Das duas primeiras \alpha=t\], \(\beta=2t. Verifico a terceira: \alpha+\beta = t+2t = 3t, que coincide com a terceira equação para todo t. Isso significa que para qualquer t escolhemos \alpha=t,\beta=2t e obtemos um vetor comum. Em particular, para t=1 obtemos
v = u_1 + 2u_2,
portanto v\in U. Assim V\subseteq U e
U\cap V = V = \operatorname{span}\{(1,2,3)\}.
Determinar U+V. Como V\subseteq U, a soma não agrega nada novo:
U+V = U.
Soma direta? Não, porque U\cap V = V que é maior que \{0\}. Então não é direto.]
Passo 5
Resolução do item (c): U=\{(x,y,z)\mid z=0\} (o plano xy) e V=\operatorname{span}\{w\} com w=(0,0,1).
Interseção U\cap V: um vetor em V tem forma t(0,0,1)=(0,0,t). Para estar em U precisamos de z=0, logo t=0. Assim só o vetor nulo está em comum:
U\cap V=\{(0,0,0)\}.
Soma U+V: o plano z=0 mais o eixo z gera todo o espaço \mathbb{R}^3; formalmente,