Dentro de uma região cilíndrica \rho \leq 4 m, a densidade de fluxo elétrico é dada como sendo: \vec{D}=5 \rho^{3} \vec{a}_{\rho} C / m^{2}.
a) qual a densidade volumétrica de carga em \rho=3 m ?
b) qual a densidade de fluxo elétrico em \rho=3 m ?
c) quanto de fluxo elétrico deixa o cilindro, em \rho=3 m e |z| \leq 2,5 m ?
d) quanto de carga existe dentro do cilindro, em \rho=3 m e |z| \leq 2,5 m ?

Passo 1

O enunciado fornece dentro de uma região cilíndrica \rho \leq 4\\ \mathrm{m} o campo vetor densidade de fluxo elétrico
\vec{D} = 5\,\rho^{3}\,\vec{a}_{\rho}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
As perguntas são:
  1. (a) Qual a densidade volumétrica de carga em \rho=3\\ \mathrm{m}?
  2. (b) Qual a densidade de fluxo elétrico em \rho=3\\ \mathrm{m}?
  3. (c) Quanto de fluxo elétrico sai do cilindro na superfície \rho=3\\ \mathrm{m} para |z|\le 2{,}5\\ \mathrm{m}?
  4. (d) Quanto de carga existe dentro do cilindro limitado por \rho\le 3\\ \mathrm{m} e |z|\le 2{,}5\\ \mathrm{m}?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O campo \vec{D} é radial (apenas componente \vec{a}_\rho) e depende só de \rho.
  • Vamos precisar da relação entre densidade volumétrica de carga e \vec{D}, e das fórmulas de integração em coordenadas cilíndricas para fluxos e cargas.

Passo 2

Princípio fundamental usado (explicação didática): a densidade volumétrica de carga livre \rho_v está relacionada ao divergente de \vec{D} pela forma diferencial da lei de Gauss:
\nabla\cdot\vec{D} = \rho_v.
Aqui \rho_v é a carga por unidade de volume com unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^3. Para campos em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) a expressão do divergente de um campo \vec{D}=D_{\rho}\vec{a}_\rho+D_{\varphi}\vec{a}_\varphi+D_{z}\vec{a}_z é
\nabla\cdot\vec{D}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho D_{\rho}\big)+\frac{1}{\rho}\frac{\partial D_{\varphi}}{\partial\varphi}+\frac{\partial D_{z}}{\partial z}.
No nosso caso D_{\varphi}=0, D_{z}=0 e D_{\rho}=5\rho^{3}, que depende apenas de \rho. Assim o divergente simplifica para
\rho_v(\rho)=\nabla\cdot\vec{D}=\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\big(\rho\cdot 5\rho^{3}\big).

Passo 3

Calcule a expressão algébrica de \rho_v(\rho). Dentro da derivada temos \rho\cdot 5\rho^{3}=5\rho^{4}. Derivando:
\frac{d}{d\rho}\big(5\rho^{4}\big)=20\rho^{3}.
Dividindo por \rho obtemos
\rho_v(\rho)=\frac{1}{\rho}\,20\rho^{3}=20\rho^{2}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.
Portanto a fórmula geral da densidade volumétrica de carga é \rho_v(\rho)=20\rho^{2}.

Passo 4

Avalie \rho_v em \rho=3\\ \mathrm{m}. Substituindo \rho=3 na expressão encontrada:
\rho_v(3)=20\cdot 3^{2}=20\cdot 9=180\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.
Unidade: \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}. Isso responde a (a).

Passo 5

Calcule o vetor \vec{D} em \rho=3\\ \mathrm{m} (resposta de (b)). Substituindo direto na expressão dada:
\vec{D}(3)=5\cdot 3^{3}\,\vec{a}_{\rho}=5\cdot 27\,\vec{a}_{\rho}=135\,\vec{a}_{\rho}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Agora vamos ao fluxo elétrico que sai pelo cilindro lateral em \rho=3\\ \mathrm{m} com altura determinada por |z|\le 2{,}5\\ \mathrm{m} (pergunta (c)). Explicação e fórmula: o fluxo através de uma superfície com vetor área \vec{dS} é \Phi=\iint \vec{D}\cdot\vec{dS}. Para a superfície cilíndrica lateral a área elementar é \vec{dS}=\vec{a}_{\rho}\,\rho\,d\varphi\,dz (normal externo \vec{a}_\rho e módulo da área elementar \rho\,d\varphi\,dz). No nosso caso fixamos \rho=3, então \rho dentro do elemento de área vale 3. Como \vec{D} é paralelo a \vec{a}_\rho e depende só de \rho, em \rho=3 temos \vec{D}\cdot\vec{a}_\rho=135\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2. Assim o fluxo pela superfície lateral é
\Phi=\int_{z=-2{,}5}^{2{,}5}\int_{\varphi=0}^{2\pi} \big(135\big)\cdot\big(3\,d\varphi\,dz\big).
Fatorando constantes:
\Phi = 135\cdot 3 \int_{-2{,}5}^{2{,}5}\int_{0}^{2\pi} d\varphi\,dz = 135\cdot 3 \cdot (2\pi)\cdot(5).
Calcule passo a passo: 135\cdot 3=405. 405\cdot 5=2025. Logo
\Phi = 2025\cdot 2\pi = 4050\pi\\ \mathrm{C}.
Unidade: coulombs (fluxo de \vec{D} tem unidade de carga).

Passo 7

Calcule a carga total dentro do cilindro \rho\le 3\\ \mathrm{m}, |z|\le 2{,}5\\ \mathrm{m} (pergunta (d)). Podemos integrar a densidade volumétrica \rho_v(\rho)=20\rho^{2} sobre o volume. Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz. Então
Q=\int_{z=-2{,}5}^{2{,}5}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\rho=0}^{3} 20\rho^{2}\cdot \rho\,d\rho\,d\varphi\,dz =\int_{-2{,}5}^{2{,}5}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}20\rho^{3}\,d\rho\,d\varphi\,dz.
Integre em \rho:
\int_{0}^{3}20\rho^{3}\,d\rho = 20\cdot\frac{\rho^{4}}{4}\Big|_{0}^{3}=5\cdot 3^{4}=5\cdot 81=405.
Agora integre em \varphi e z: fator 405 vezes (2\pi) vezes comprimento em z que é 5. Assim
Q = 405\cdot 2\pi \cdot 5 = 4050\pi\\ \mathrm{C}.
Observação didática final: note que o valor encontrado para a carga total Q coincide com o fluxo pelo lateral calculado no passo anterior. Isso é consistente com o Teorema da Divergência (forma integral da lei de Gauss): o fluxo total através da superfície fechada que envolve o volume é igual à carga total dentro do volume; aqui as tampas superior e inferior não contribuem ao fluxo porque \vec{D} não tem componente z.

Resposta

(a) \rho_v(3)=180\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}
(b) \vec{D}(3)=135\,\vec{a}_{\rho}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}
(c) \Phi_{\text{lateral}}=4050\pi\\ \mathrm{C}
(d) Q_{\text{interna}}=4050\pi\\ \mathrm{C}

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