Dentro de uma região cilíndrica \rho \leq 4 m, a densidade de fluxo elétrico é dada como sendo: \vec{D}=5 \rho^{3} \vec{a}_{\rho} C / m^{2}.
a) qual a densidade volumétrica de carga em \rho=3 m ?
b) qual a densidade de fluxo elétrico em \rho=3 m ?
c) quanto de fluxo elétrico deixa o cilindro, em \rho=3 m e |z| \leq 2,5 m ?
d) quanto de carga existe dentro do cilindro, em \rho=3 m e |z| \leq 2,5 m ?
Passo 1
O enunciado fornece dentro de uma região cilíndrica \rho \leq 4\\ \mathrm{m} o campo vetor densidade de fluxo elétrico
(a) Qual a densidade volumétrica de carga em \rho=3\\ \mathrm{m}?
(b) Qual a densidade de fluxo elétrico em \rho=3\\ \mathrm{m}?
(c) Quanto de fluxo elétrico sai do cilindro na superfície \rho=3\\ \mathrm{m} para |z|\le 2{,}5\\ \mathrm{m}?
(d) Quanto de carga existe dentro do cilindro limitado por \rho\le 3\\ \mathrm{m} e |z|\le 2{,}5\\ \mathrm{m}?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O campo \vec{D} é radial (apenas componente \vec{a}_\rho) e depende só de \rho.
Vamos precisar da relação entre densidade volumétrica de carga e \vec{D}, e das fórmulas de integração em coordenadas cilíndricas para fluxos e cargas.
Passo 2
Princípio fundamental usado (explicação didática): a densidade volumétrica de carga livre \rho_v está relacionada ao divergente de \vec{D} pela forma diferencial da lei de Gauss:
\nabla\cdot\vec{D} = \rho_v.
Aqui \rho_v é a carga por unidade de volume com unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^3. Para campos em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) a expressão do divergente de um campo \vec{D}=D_{\rho}\vec{a}_\rho+D_{\varphi}\vec{a}_\varphi+D_{z}\vec{a}_z é
Agora vamos ao fluxo elétrico que sai pelo cilindro lateral em \rho=3\\ \mathrm{m} com altura determinada por |z|\le 2{,}5\\ \mathrm{m} (pergunta (c)). Explicação e fórmula: o fluxo através de uma superfície com vetor área \vec{dS} é \Phi=\iint \vec{D}\cdot\vec{dS}. Para a superfície cilíndrica lateral a área elementar é \vec{dS}=\vec{a}_{\rho}\,\rho\,d\varphi\,dz (normal externo \vec{a}_\rho e módulo da área elementar \rho\,d\varphi\,dz). No nosso caso fixamos \rho=3, então \rho dentro do elemento de área vale 3. Como \vec{D} é paralelo a \vec{a}_\rho e depende só de \rho, em \rho=3 temos \vec{D}\cdot\vec{a}_\rho=135\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2. Assim o fluxo pela superfície lateral é
Calcule passo a passo: 135\cdot 3=405. 405\cdot 5=2025. Logo
\Phi = 2025\cdot 2\pi = 4050\pi\\ \mathrm{C}.
Unidade: coulombs (fluxo de \vec{D} tem unidade de carga).
Passo 7
Calcule a carga total dentro do cilindro \rho\le 3\\ \mathrm{m}, |z|\le 2{,}5\\ \mathrm{m} (pergunta (d)). Podemos integrar a densidade volumétrica \rho_v(\rho)=20\rho^{2} sobre o volume. Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz. Então
Agora integre em \varphi e z: fator 405 vezes (2\pi) vezes comprimento em z que é 5. Assim
Q = 405\cdot 2\pi \cdot 5 = 4050\pi\\ \mathrm{C}.
Observação didática final: note que o valor encontrado para a carga total Q coincide com o fluxo pelo lateral calculado no passo anterior. Isso é consistente com o Teorema da Divergência (forma integral da lei de Gauss): o fluxo total através da superfície fechada que envolve o volume é igual à carga total dentro do volume; aqui as tampas superior e inferior não contribuem ao fluxo porque \vec{D} não tem componente z.