Determine a densidade de cargas devido a cada uma das seguintes densidades de fluxo elétrico:
Passo 1
O enunciado dá o campo de densidade de fluxo elétrico
em coordenadas cilíndricas e pede a densidade volumétrica de carga resultante (ou seja, a carga por unidade de volume). As informações fornecidas são:
O que precisamos encontrar é a função
(densidade volumétrica de carga) associada a esse
.
Passo 2
Relação fundamental: a densidade volumétrica de carga livre
é dada pela divergência do vetor
:
Aqui
tem unidade de
. Vou usar essa igualdade diretamente para calcular
.
Passo 3
Fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas
para um vetor
é:
Explico o que cada termo representa: o primeiro trata da variação radial compensada pela geometria circular (por isso o
e o
); o segundo é a variação no ângulo azimutal; o terceiro é a derivada normal em
.
Passo 4
Identificamos os componentes de
a partir do enunciado:
Vou aplicar a fórmula da divergência usando esses valores.
Passo 5
Calculemos o primeiro termo
.
Primeiro multiplico :
Primeiro multiplico
Agora derivo em relação a
:
Multiplico por
:
Passo 6
Calculemos o segundo termo
.
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Derivando
Agora multiplico por
:
Passo 7
Calculemos o terceiro termo
.
Como , sua derivada em relação a
é
Como
Passo 8
Somando os três termos obtemos a divergência:
Agrupando:
A unidade é
. Como checagem rápida: em
teríamos
.