Determine a densidade de cargas devido a cada uma das seguintes densidades de fluxo elétrico:
\vec{D}=4 \rho \operatorname{sen} \varphi \vec{a}_{\rho}+2 \rho \cos \varphi \vec{a}_{\emptyset}+2 z^{2} \vec{a}_{z}\left[C / m^{3}\right]

Passo 1

O enunciado dá o campo de densidade de fluxo elétrico \vec{D} em coordenadas cilíndricas e pede a densidade volumétrica de carga resultante (ou seja, a carga por unidade de volume). As informações fornecidas são:
\vec{D}=4\,\rho\,\sin\varphi\,\vec{a}_{\rho}+2\,\rho\,\cos\varphi\,\vec{a}_{\varphi}+2\,z^{2}\,\vec{a}_{z}\quad[\mathrm{C/m^{3}}].
O que precisamos encontrar é a função \rho_{v}(\rho,\varphi,z) (densidade volumétrica de carga) associada a esse \vec{D}.

Passo 2

Relação fundamental: a densidade volumétrica de carga livre \rho_{v} é dada pela divergência do vetor \vec{D}:
\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{v}.
Aqui \rho_{v} tem unidade de \mathrm{C/m^{3}}. Vou usar essa igualdade diretamente para calcular \rho_{v}.

Passo 3

Fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) para um vetor \vec{A}=A_{\rho}\,\vec{a}_{\rho}+A_{\varphi}\,\vec{a}_{\varphi}+A_{z}\,\vec{a}_{z} é:
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho\,A_{\rho}\big)+\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}.
Explico o que cada termo representa: o primeiro trata da variação radial compensada pela geometria circular (por isso o \frac{1}{\rho} e o \rho A_{\rho}); o segundo é a variação no ângulo azimutal; o terceiro é a derivada normal em z.

Passo 4

Identificamos os componentes de \vec{D} a partir do enunciado:
A_{\rho}=4\,\rho\,\sin\varphi,\qquad A_{\varphi}=2\,\rho\,\cos\varphi,\qquad A_{z}=2\,z^{2}.
Vou aplicar a fórmula da divergência usando esses valores.

Passo 5

Calculemos o primeiro termo \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho A_{\rho}\big).
Primeiro multiplico \rho A_{\rho}:
\rho\,A_{\rho}=\rho\cdot(4\,\rho\,\sin\varphi)=4\,\rho^{2}\sin\varphi.
Agora derivo em relação a \rho:
\frac{\partial}{\partial\rho}\big(4\,\rho^{2}\sin\varphi\big)=4\cdot 2\rho\sin\varphi=8\,\rho\,\sin\varphi.
Multiplico por \frac{1}{\rho}:
\frac{1}{\rho}\cdot 8\,\rho\,\sin\varphi = 8\,\sin\varphi.

Passo 6

Calculemos o segundo termo \frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}.
Derivando A_{\varphi}=2\,\rho\,\cos\varphi em relação a \varphi (tratando \rho como constante):
\frac{\partial}{\partial\varphi}(2\,\rho\,\cos\varphi)=2\,\rho\cdot(-\sin\varphi)=-2\,\rho\,\sin\varphi.
Agora multiplico por \frac{1}{\rho}:
\frac{1}{\rho}\cdot(-2\,\rho\,\sin\varphi) = -2\,\sin\varphi.

Passo 7

Calculemos o terceiro termo \frac{\partial A_{z}}{\partial z}.
Como A_{z}=2\,z^{2}, sua derivada em relação a z é
\frac{\partial}{\partial z}(2\,z^{2})=4\,z.

Passo 8

Somando os três termos obtemos a divergência:
\rho_{v}=\nabla\cdot\vec{D}=8\,\sin\varphi + (-2\,\sin\varphi) + 4\,z.
Agrupando:
\rho_{v}=6\,\sin\varphi + 4\,z.
A unidade é \mathrm{C/m^{3}}. Como checagem rápida: em (\rho=1,\varphi=\tfrac{\pi}{2},z=1) teríamos \rho_{v}=6\cdot1+4\cdot1=10\\ \mathrm{C/m^{3}}.

Resposta

\rho_{v}(\rho,\varphi,z)=6\,\sin\varphi+4\,z\\ \mathrm{C/m^{3}}

Exercícios relacionados