Departamento de Matemática
Prova Substitutiva de Cálculo 1
Nome do Aluno:
Escolha quatro das cinco questões abaixo!
Faça as questões abaixo de maneira organizada e legível.
(2) (valor:2,5 pts) Calcule os limites abaixo caso existam:
lim x 0^+ x^x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0^+ x^x^2. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo de Limites, especificamente lidando com funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a expressão usando o logaritmo natural. Sabemos que x^x^2 = e^x^2 ln x. Isso porque qualquer expressão da forma a^b pode ser escrita como e^b ln a.

Passo 3

Agora, vamos focar no expoente x^2 ln x. Nosso objetivo é encontrar o limite de x^2 ln x quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo.

Passo 4

Sabemos que ln x tende a -infty quando x tende a 0 pelo lado positivo, e x^2 tende a 0. Então, temos uma situação de indeterminação do tipo 0 cdot (-infty). Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como ln x1/x^2.

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital porque temos uma indeterminação do tipo -inftyinfty. Derivando o numerador e o denominador:
ddx (ln x) = 1x
ddx (1x^2) = -2x^3
Então, o limite se transforma em:
limx to 0^+ 1x-2x^3 = limx to 0^+ -x^22 = 0

Passo 6

Agora que sabemos que limx to 0^+ x^2 ln x = 0 , voltamos à expressão original:
lim x 0^+ x^x^2 = lim x 0^+ e^x^2 ln x = e^0 = 1

Resposta

O limite lim x 0^+ x^x^2 é igual a 1.

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