Departamento de Matemática
Prova Substitutiva de Cálculo 1
Nome do Aluno:
Escolha quatro das cinco questões abaixo!
Faça as questões abaixo de maneira organizada e legível.
(2) (valor:2,5 pts) Calcule os limites abaixo caso existam:
.
Prova Substitutiva de Cálculo 1
Nome do Aluno:
Escolha quatro das cinco questões abaixo!
Faça as questões abaixo de maneira organizada e legível.
(2) (valor:2,5 pts) Calcule os limites abaixo caso existam:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo de Limites, especificamente lidando com funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar a expressão usando o logaritmo natural. Sabemos que
. Isso porque qualquer expressão da forma
pode ser escrita como
.
Passo 3
Agora, vamos focar no expoente
. Nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo.
Passo 4
Sabemos que
tende a
quando
tende a 0 pelo lado positivo, e
tende a 0. Então, temos uma situação de indeterminação do tipo
. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como
.
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital porque temos uma indeterminação do tipo
. Derivando o numerador e o denominador:
Então, o limite se transforma em:
Passo 6
Agora que sabemos que
, voltamos à expressão original:
Resposta
O limite
é igual a 1.