Departamento de Matemática
Prova Substitutiva de Cálculo 1
Nome do Aluno:
Escolha quatro das cinco questões abaixo!
Faça as questões abaixo de maneira organizada e legível.
(2) (valor:2,5 pts) Calcule os limites abaixo caso existam:
.
Prova Substitutiva de Cálculo 1
Nome do Aluno:
Escolha quatro das cinco questões abaixo!
Faça as questões abaixo de maneira organizada e legível.
(2) (valor:2,5 pts) Calcule os limites abaixo caso existam:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício é de Cálculo 1 e envolve entender como funções crescem quando
vai para o infinito. Para resolver, vamos precisar saber sobre limites e a Regra de L’Hospital, que é uma técnica para calcular limites de funções que dão indeterminação como
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da fração quando
tende ao infinito. O numerador é
e o denominador é
. Sabemos que, conforme
cresce,
também cresce, mas bem mais devagar que
. Então,
cresce ainda mais devagar do que
. Isso nos sugere que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, mas vamos confirmar isso usando a Regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital é útil quando temos um limite que resulta em uma forma indeterminada como
ou
. Nesse caso, como
vai para o infinito, tanto
quanto
vão para o infinito, então podemos aplicar a regra.
Para aplicar a Regra de L’Hospital, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas no limite original:
Passo 5
Vamos analisar o novo limite
. Conforme
cresce, tanto
quanto
aumentam, fazendo com que o produto
cresça para o infinito. Assim, o inverso dessa expressão,
, tende a zero.