Departamento de Matemática
Prova Substitutiva de Cálculo 1
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Escolha quatro das cinco questões abaixo!
Faça as questões abaixo de maneira organizada e legível.
(2) (valor:2,5 pts) Calcule os limites abaixo caso existam:
lim x infty ln (ln (x))x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite limx infty ln(ln(x))x. Esse exercício é de Cálculo 1 e envolve entender como funções crescem quando x vai para o infinito. Para resolver, vamos precisar saber sobre limites e a Regra de L’Hospital, que é uma técnica para calcular limites de funções que dão indeterminação como inftyinfty.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da fração quando x tende ao infinito. O numerador é ln(ln(x)) e o denominador é x. Sabemos que, conforme x cresce, ln(x) também cresce, mas bem mais devagar que x. Então, ln(ln(x)) cresce ainda mais devagar do que ln(x) . Isso nos sugere que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, mas vamos confirmar isso usando a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital é útil quando temos um limite que resulta em uma forma indeterminada como inftyinfty ou 00. Nesse caso, como x vai para o infinito, tanto ln(ln(x)) quanto x vão para o infinito, então podemos aplicar a regra.
Para aplicar a Regra de L’Hospital, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador ln(ln(x)) :
ddx ln(ln(x)) = 1ln(x) cdot 1x = 1x ln(x)
  • Derivada do denominador x:
ddx x = 1

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas no limite original:
limx infty ln(ln(x))x = limx infty 1x ln(x)1 = limx infty 1x ln(x)

Passo 5

Vamos analisar o novo limite limx infty 1x ln(x). Conforme x cresce, tanto x quanto ln(x) aumentam, fazendo com que o produto x ln(x) cresça para o infinito. Assim, o inverso dessa expressão, 1x ln(x), tende a zero.

Resposta

limx infty ln(ln(x))x = 0

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