O departamento de vendas de certa companhia foi formado há um ano com a admissão de 11 vendedores. Nessa época foram observadas para cada um dos vendedores os valores de duas variáveis:
T: resultado de um teste apropriado para vendedores;
E: anos de experiência de vendas.
O diretor da companhia resolveu agora ampliar o quadro de vendedores e pede sua colaboracão para responder a algumas perguntas. Para isso ele lhe dá informações adicionais sobre a variável:
V: Volume médio mensal de vendas em salários mínimos no último ano.
O quadro de resultados é o seguinte:
Vendedor T:teste E:experiência V:vendas
1 8 5 54
2 9 2 50
3 7 2 48
4 8 1 32
5 6 4 30
6 8 4 30
7 5 3 29
8 5 3 27
9 6 1 24
10 7 3 24
11 4 4 24
12 7 2 23
13 3 3 21
14 5 1 21
15 3 2 16
Mais especificamente, o diretor the pede que responda as seguintes questões:
a) Encontre a média e a variância da variável V. Suponha que um vendedor seja considerado excepcional se seu volume de vendas é dois desvios padrões superior à média geral. Quantos vendedores excepcionais existem na amostra?
b) O diretor de vendas anunciou que a partir deste ano transferirá para outra praça todos os vendedores cujo volume de vendas for inferior ao volume dos 25 \% vendedores que menos venderam no último ano. Qual o volume mínimo de vendas que um vendedor deve realizar para não ser transferido?
c) Qual das duas variáveis observadas na admissão do pessoal é mais importante para julgar um futuro candidato ao emprego?

Passo 1

O enunciado dá os valores da variável V (volume médio mensal de vendas, em salários mínimos) para 15 vendedores. Os dados V em ordem de aparecimento são:
54,\;50,\;48,\;32,\;30,\;30,\;29,\;27,\;24,\;24,\;24,\;23,\;21,\;21,\;16.
O que o diretor pede:
  • (a) Encontrar a média e a variância de V. Definir vendedor excepcional como aquele cujo V é dois desvios-padrão acima da média e contar quantos excepcionais existem na amostra.
  • (b) Determinar o volume mínimo de vendas para não ser transferido, sabendo que serão transferidos todos os vendedores cujo volume for inferior ao volume dos 25\% que menos venderam.
  • (c) Dizer qual das duas variáveis observadas na admissão — T (resultado do teste) ou E (anos de experiência) — é mais importante para julgar um futuro candidato, com base nos dados fornecidos (ou seja, qual se associa mais a V).

Passo 2

Cálculo da média de V. Lembra: a média aritmética é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Se chamarmos n o número de observações e \overline{V} a média,
\overline{V}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}V_i.
Aqui n=15. Primeiro somamos os valores de V:
\sum_{i=1}^{15}V_i = 54+50+48+32+30+30+29+27+24+24+24+23+21+21+16 = 453.
Logo
\overline{V}=\frac{453}{15}=30{,}2.
Explicação curta: para a prova, faça a soma dos valores e divida por n. Fácil de lembrar.

Passo 3

Cálculo da variância de V. Vou usar a variância amostral com denominador n-1 (prática padrão quando trabalhamos com uma amostra e queremos estimar a variabilidade). A fórmula (amostral) é
s_V^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(V_i-\overline{V})^2.
Uma forma computacionalmente mais direta é usar as somas de quadrados:
s_V^2=\frac{1}{n-1}\Big(\sum_{i=1}^{n}V_i^2 - n\overline{V}^2\Big).
Vamos calcular \sum V_i^2. Usei os quadrados dos valores:
\sum_{i=1}^{15}V_i^2 = 2916+2500+2304+1024+900+900+841+729+576+576+576+529+441+441+256 = 15509.
Agora aplico a fórmula:
n\overline{V}^2 = 15\cdot(30{,}2)^2 = 15\cdot912{,}04 = 2748{,}2.
Portanto
\sum V_i^2 - n\overline{V}^2 = 15509 - 2748{,}2 = 1828{,}8.
Dividindo por n-1=14,
s_V^2=\frac{1828{,}8}{14}=130{,}628571\ldots \approx 130{,}6.
Observação didática: para a prova, calcule \sum V_i, \sum V_i^2, depois aplique essa fórmula — é rápido e evita arredondamentos intermediários grandes.

Passo 4

Cálculo do desvio-padrão amostral de V. O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
s_V=\sqrt{s_V^2}=\sqrt{130{,}6}\approx 11{,}43.
Esse s_V será usado para classificar vendedores excepcionais.

Passo 5

Classificação de vendedores excepcionais (parte de (a)). A regra dada: vendedor é excepcional se seu V for dois desvios-padrão acima da média. Ou seja, condição
V > \overline{V} + 2s_V.
Calculando o corte:
\overline{V} + 2s_V = 30{,}2 + 2\cdot 11{,}43 \approx 30{,}2 + 22{,}86 = 53{,}06.
Assim, só são excepcionais os vendedores com V>53{,}06. Olhando os dados de V, apenas 54 é maior que 53{,}06. Logo existe exatamente 1 vendedor excepcional na amostra.

Passo 6

Parte (b): entender o que significa “volume dos 25\% vendedores que menos venderam” e qual o corte. Existem várias convenções para percentis; a mais simples e comum em provas elementares é usar o posto
\text{posição}=(n+1)\cdot p,çã
onde p=0{,}25 para o percentil de 25\%. Aqui n=15, então
\text{posição}=(15+1)\cdot 0{,}25 = 16\cdot 0{,}25 = 4.çã
Isto significa que o 25\%-percentil corresponde ao 4^\circ menor valor da amostra (ou seja, ao quarto menor valor). Alternativa (interpolações) daria um valor entre o 3^\circ e o 4^\circ, mas com essa convenção a resposta é direta e pedagógica.

Passo 7

Ordenar os valores de V em ordem crescente para achar o 4^\circ menor:
16,\;21,\;21,\;23,\;24,\;24,\;24,\;27,\;29,\;30,\;30,\;32,\;48,\;50,\;54.
O 4^\circ menor é 23. Interpretando o enunciado: serão transferidos os vendedores cujo volume for inferior ao volume dos 25\% que menos venderam, isto é, inferior a 23. Para não ser transferido um vendedor precisa ter V\ge 23. Como na prática volumes são inteiros aqui, o volume mínimo que um vendedor deve realizar para não ser transferido é 23 (qualquer valor abaixo de 23 leva à transferência).

Passo 8

Parte (c): decidir qual variável ( T ou E) é mais importante para julgar um futuro candidato. Método: medir a associação linear entre V e cada uma das variáveis usando o coeficiente de correlação de Pearson. A variável com correlação mais forte (em valor absoluto) com V é a que, linearmente, melhor explica ou se relaciona com V no conjunto de dados — isso é um critério simples e comum numa prova.
Fórmula do coeficiente de correlação amostral entre duas variáveis X e Y:
r_{XY}=\frac{\displaystyle\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{s_X s_Y}
ou, de forma computacional,
r_{XY}=\frac{\displaystyle\frac{1}{n-1}\Big(\sum X_iY_i - n\overline{X}\,\overline{Y}\Big)}{s_X s_Y}.
Vou aplicar isto para (V,T) e para (V,E).

Passo 9

Cálculos auxiliares: médias de T e E. Dos dados (soma feita no rascunho):
\sum T_i = 91,\quad \overline{T}=\frac{91}{15}=6{,}066666\ldots
\sum E_i = 40,\quad \overline{E}=\frac{40}{15}=2{,}666666\ldots

Passo 10

Correlação entre V e T.
Calculei:
\sum V_iT_i = 2959.
Então o numerador (soma dos produtos centrados) é
\sum V_iT_i - n\overline{V}\,\overline{T} = 2959 - 15\cdot 30{,}2\cdot \frac{91}{15} = 2959 - 2748{,}2 = 210{,}8.
A covariância amostral é
\operatorname{cov}(V,T)=\frac{210{,}8}{14}=15{,}0571429.
Já tínhamos s_V=\sqrt{130{,}6}\approx 11{,}43. Agora s_T (desvio-padrão amostral de T) foi calculado a partir de \sum T_i^2 =601, dando
s_T^2=\frac{601 - 15\cdot\overline{T}^2}{14}\approx 3{,}49524,\quad s_T\approx 1{,}87.
Portanto
r_{V,T}=\frac{15{,}0571429}{11{,}43\cdot 1{,}87}\approx 0{,}705.
Interpretação rápida: correlação positiva e relativamente forte (aprox. 0{,}70).

Passo 11

Correlação entre V e E.
Calculei:
\sum V_iE_i = 1260,
logo o numerador:
\sum V_iE_i - n\overline{V}\,\overline{E} = 1260 - 15\cdot 30{,}2\cdot \frac{40}{15} = 1260 - 1208 = 52.
A covariância amostral é
\operatorname{cov}(V,E)=\frac{52}{14}=3{,}7142857.
Com \;s_E obtido a partir de \sum E_i^2 =128, temos
s_E^2=\frac{128 - 15\cdot\overline{E}^2}{14}\approx 1{,}52381,\quad s_E\approx 1{,}234.
Assim
r_{V,E}=\frac{3{,}7142857}{11{,}43\cdot 1{,}234}\approx 0{,}264.
Interpretação: correlação positiva fraca (aprox. 0{,}26).

Passo 12

Conclusão da parte (c): comparando os valores absolutos das correlações,
|r_{V,T}|\approx 0{,}705 > |r_{V,E}|\approx 0{,}264.
Portanto a variável T (resultado do teste) tem associação muito mais forte com o volume de vendas V do que a experiência E. Na prática, com esses dados, T é a variável mais importante para julgar um futuro candidato (pelo critério de associação linear com V).

Resposta

(a) \overline{V}=30{,}2,\quad s_V^2\approx 130{,}6. Número de vendedores excepcionais: 1.\n(b) Volume mínimo para não ser transferido: 23.\n(c) A variável T (resultado do teste) é mais importante, pois r_{V,T}\approx 0{,}705 enquanto r_{V,E}\approx 0{,}264.

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