O departamento de vendas de certa companhia foi formado há um ano com a admissão de 11 vendedores. Nessa época foram observadas para cada um dos vendedores os valores de duas variáveis:
T: resultado de um teste apropriado para vendedores;
E: anos de experiência de vendas.
O diretor da companhia resolveu agora ampliar o quadro de vendedores e pede sua colaboracão para responder a algumas perguntas. Para isso ele lhe dá informações adicionais sobre a variável:
V: Volume médio mensal de vendas em salários mínimos no último ano.
O quadro de resultados é o seguinte:
Vendedor
T:teste
E:experiência
V:vendas
1
8
5
54
2
9
2
50
3
7
2
48
4
8
1
32
5
6
4
30
6
8
4
30
7
5
3
29
8
5
3
27
9
6
1
24
10
7
3
24
11
4
4
24
12
7
2
23
13
3
3
21
14
5
1
21
15
3
2
16
Mais especificamente, o diretor the pede que responda as seguintes questões:
a) Encontre a média e a variância da variável V. Suponha que um vendedor seja considerado excepcional se seu volume de vendas é dois desvios padrões superior à média geral. Quantos vendedores excepcionais existem na amostra?
b) O diretor de vendas anunciou que a partir deste ano transferirá para outra praça todos os vendedores cujo volume de vendas for inferior ao volume dos 25 \% vendedores que menos venderam no último ano. Qual o volume mínimo de vendas que um vendedor deve realizar para não ser transferido?
c) Qual das duas variáveis observadas na admissão do pessoal é mais importante para julgar um futuro candidato ao emprego?
Passo 1
O enunciado dá os valores da variável V (volume médio mensal de vendas, em salários mínimos) para 15 vendedores. Os dados V em ordem de aparecimento são:
(a) Encontrar a média e a variância de V. Definir vendedor excepcional como aquele cujo V é dois desvios-padrão acima da média e contar quantos excepcionais existem na amostra.
(b) Determinar o volume mínimo de vendas para não ser transferido, sabendo que serão transferidos todos os vendedores cujo volume for inferior ao volume dos 25\% que menos venderam.
(c) Dizer qual das duas variáveis observadas na admissão — T (resultado do teste) ou E (anos de experiência) — é mais importante para julgar um futuro candidato, com base nos dados fornecidos (ou seja, qual se associa mais a V).
Passo 2
Cálculo da média de V. Lembra: a média aritmética é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Se chamarmos n o número de observações e \overline{V} a média,
Explicação curta: para a prova, faça a soma dos valores e divida por n. Fácil de lembrar.
Passo 3
Cálculo da variância de V. Vou usar a variância amostral com denominador n-1 (prática padrão quando trabalhamos com uma amostra e queremos estimar a variabilidade). A fórmula (amostral) é
Observação didática: para a prova, calcule \sum V_i, \sum V_i^2, depois aplique essa fórmula — é rápido e evita arredondamentos intermediários grandes.
Passo 4
Cálculo do desvio-padrão amostral de V. O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
s_V=\sqrt{s_V^2}=\sqrt{130{,}6}\approx 11{,}43.
Esse s_V será usado para classificar vendedores excepcionais.
Passo 5
Classificação de vendedores excepcionais (parte de (a)). A regra dada: vendedor é excepcional se seu V for dois desvios-padrão acima da média. Ou seja, condição
Assim, só são excepcionais os vendedores com V>53{,}06. Olhando os dados de V, apenas 54 é maior que 53{,}06. Logo existe exatamente 1 vendedor excepcional na amostra.
Passo 6
Parte (b): entender o que significa “volume dos 25\% vendedores que menos venderam” e qual o corte. Existem várias convenções para percentis; a mais simples e comum em provas elementares é usar o posto
\text{posição}=(n+1)\cdot p,çã
onde p=0{,}25 para o percentil de 25\%. Aqui n=15, então
Isto significa que o 25\%-percentil corresponde ao 4^\circ menor valor da amostra (ou seja, ao quarto menor valor). Alternativa (interpolações) daria um valor entre o 3^\circ e o 4^\circ, mas com essa convenção a resposta é direta e pedagógica.
Passo 7
Ordenar os valores de V em ordem crescente para achar o 4^\circ menor:
O 4^\circ menor é 23. Interpretando o enunciado: serão transferidos os vendedores cujo volume for inferior ao volume dos 25\% que menos venderam, isto é, inferior a 23. Para não ser transferido um vendedor precisa ter V\ge 23. Como na prática volumes são inteiros aqui, o volume mínimo que um vendedor deve realizar para não ser transferido é 23 (qualquer valor abaixo de 23 leva à transferência).
Passo 8
Parte (c): decidir qual variável (T ou E) é mais importante para julgar um futuro candidato. Método: medir a associação linear entre V e cada uma das variáveis usando o coeficiente de correlação de Pearson. A variável com correlação mais forte (em valor absoluto) com V é a que, linearmente, melhor explica ou se relaciona com V no conjunto de dados — isso é um critério simples e comum numa prova.
Fórmula do coeficiente de correlação amostral entre duas variáveis X e Y:
Portanto a variável T (resultado do teste) tem associação muito mais forte com o volume de vendas V do que a experiência E. Na prática, com esses dados, T é a variável mais importante para julgar um futuro candidato (pelo critério de associação linear com V).
Resposta
(a) \overline{V}=30{,}2,\quad s_V^2\approx 130{,}6. Número de vendedores excepcionais: 1.\n(b) Volume mínimo para não ser transferido: 23.\n(c) A variável T (resultado do teste) é mais importante, pois r_{V,T}\approx 0{,}705 enquanto r_{V,E}\approx 0{,}264.