Um depósito de argila da Baixada Fluminense tem drenagem através de uma camada de areia embaixo e livre por cima. Sua espessura é de 12 m . O coeficiente de adensamento obtido em laboratório é \mathrm{Cv}=1,0 \times 10-8 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Obtenha o grau de adensamento e a pressão neutra residual vinte anos após o carregamento unidimensional de 100 kPa , nas profundidades de Z=0,3,6,9 e 12 m .
Passo 1
O enunciado fornece um depósito de argila com espessura H=12\\ \mathrm{m}, drenagem “livre por cima” e drenagem por uma camada de areia embaixo (portanto as duas faces são drenantes). Foi aplicado um carregamento unidimensional instantâneo de \Delta\sigma=100\\ \mathrm{kPa}. O coeficiente de adensamento é C_v = 1{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}. O tempo considerado é t=20 anos.
O que se pede: para as profundidades Z=0,\;3,\;6,\;9,\;12\\ \mathrm{m} obter
o grau de adensamento (grau de consolidação) local U(Z,t) vinte anos após o carregamento;
a pressão neutra residual (pressão de poro remanescente) u(Z,t) vinte anos após o carregamento.
t=20\\ \text{anos} (vai-se converter para segundos)
Pontos onde calcular: Z=0,\;3,\;6,\;9,\;12\\ \mathrm{m}.
Passo 2
Breve explicação da teoria (passo a passo, sem pular etapas):
Conceito físico básico
Imediatamente após o carregamento isotrópico vertical instantâneo, toda a sobrecarga \Delta\sigma aparece inicialmente como pressão de poro excessiva u(z,0)=\Delta\sigma (porque o solo não teve tempo de drenar). Com o tempo, a água sai pelas superfícies drenantes e a pressão de poro diminui; essa diminuição causa o adensamento do solo. O objetivo é calcular u(z,t) e a fração dissipada.
Equação de consolidação (no tempo e na profundidade)
A equação unidimensional de Terzaghi para a pressão de poro excessiva u(z,t) é
onde T_v é o tempo adimensional; aqui, para drenagem dupla, T_v=\dfrac{C_v t}{(H/2)^2}. Esse \overline{U} dá uma visão global, mas a questão pede U e u em pontos específicos, então vamos usar a solução pontual acima.
Passo 3
Cálculos preliminares numéricos (converter unidades e obter o fator de tempo):
Tempo em segundos:
t = 20\\ \text{anos} = 20\times 365\times24\times3600 = 630\,720\,000\\ \mathrm{s}.
Produto C_v t:
C_v t = 1{,}0\times10^{-8}\times630\,720\,000 = 6{,}3072\\ (\text{sem unidade, m}^2).
Como a camada tem drenagem dupla, o caminho de drenagem máximo é L_d = H/2 = 6\\ \mathrm{m}. O tempo adimensional para drenagem dupla é
(Observação: muitas fórmulas usam H na denominador; aqui usamos diretamente a solução com H dentro do expoente, que é equivalente numericamente — os resultados abaixo usam H=12\\ \mathrm{m} na exponencial conforme a série mostrada no Passo 2.)
Passo 4
Cálculo do grau médio de adensamento (checagem, não é o pedido principal)
Usando a série truncada nos dois primeiros termos (m=0 e m=1) para \overline{U}:
(Observação: nas contas numéricas acima os termos além de j=1 são desprezíveis; mantivemos precisão suficiente para o enunciado prático — os valores finais foram arredondados a três dígitos significativos quando adequado.)