Um depósito de argila da Baixada Fluminense tem drenagem através de uma camada de areia embaixo e livre por cima. Sua espessura é de 12 m . O coeficiente de adensamento obtido em laboratório é \mathrm{Cv}=1,0 \times 10-8 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Obtenha o grau de adensamento e a pressão neutra residual vinte anos após o carregamento unidimensional de 100 kPa , nas profundidades de Z=0,3,6,9 e 12 m .

Passo 1

O enunciado fornece um depósito de argila com espessura H=12\\ \mathrm{m}, drenagem “livre por cima” e drenagem por uma camada de areia embaixo (portanto as duas faces são drenantes). Foi aplicado um carregamento unidimensional instantâneo de \Delta\sigma=100\\ \mathrm{kPa}. O coeficiente de adensamento é C_v = 1{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}. O tempo considerado é t=20 anos.
O que se pede: para as profundidades Z=0,\;3,\;6,\;9,\;12\\ \mathrm{m} obter
  • o grau de adensamento (grau de consolidação) local U(Z,t) vinte anos após o carregamento;
  • a pressão neutra residual (pressão de poro remanescente) u(Z,t) vinte anos após o carregamento.
Dados extraídos do enunciado:
  • H=12\\ \mathrm{m}
  • C_v=1{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}
  • \Delta\sigma=100\\ \mathrm{kPa} (pressão excessiva inicial, uniformemente aplicada)
  • t=20\\ \text{anos} (vai-se converter para segundos)
  • Pontos onde calcular: Z=0,\;3,\;6,\;9,\;12\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Breve explicação da teoria (passo a passo, sem pular etapas):
  1. Conceito físico básico
  • Imediatamente após o carregamento isotrópico vertical instantâneo, toda a sobrecarga \Delta\sigma aparece inicialmente como pressão de poro excessiva u(z,0)=\Delta\sigma (porque o solo não teve tempo de drenar). Com o tempo, a água sai pelas superfícies drenantes e a pressão de poro diminui; essa diminuição causa o adensamento do solo. O objetivo é calcular u(z,t) e a fração dissipada.
  1. Equação de consolidação (no tempo e na profundidade)
  • A equação unidimensional de Terzaghi para a pressão de poro excessiva u(z,t) é
\frac{\partial u}{\partial t} = C_v \frac{\partial^2 u}{\partial z^2},
onde C_v é o coeficiente de adensamento, z é a coordenada vertical (de 0 a H) e t o tempo.
  1. Condições de contorno e inicial
  • Como ambas as faces são drenantes (topo z=0 e base z=H), temos:
u(0,t)=0,\qquad u(H,t)=0\quad\text{para }t>0.
  • Condição inicial (instante t=0, carregamento instantâneo e uniforme):
u(z,0)=u_0=\Delta\sigma=100\\ \mathrm{kPa},\qquad 0\le z\le H.
  1. Solução por séries (função própria para condição u=0 nas duas faces)
  • Para essa condição (solução com senos), a solução analítica para u(z,t) é (somente termos ímpares aparecem):
u(z,t)=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{4u_0}{(2j+1)\pi}\, \sin\!\left(\frac{(2j+1)\pi z}{H}\right) \exp\!\left(-\frac{(2j+1)^2\pi^2 C_v t}{H^2}\right).
Explicando os símbolos:
  • u(z,t) é a pressão de poro residual no ponto z ao tempo t.
  • u_0=\Delta\sigma é a pressão de poro inicial (antes da drenagem).
  • j é o índice da série (0,1,2,…). Em prática, somam-se os primeiros termos porque termos altos decaem muito rápido na exponencial.
  1. Grau de adensamento local U(z,t)
  • O grau de adensamento local é a fração de pressão de poro inicial já dissipada naquele ponto:
U(z,t)=1-\frac{u(z,t)}{u_0}.
  • Nas superfícies drenantes z=0 e z=H temos u=0\Rightarrow U=1 (adensamento completo localmente).
  1. Grau de adensamento médio da camada (opcional, só para referência)
  • O grau médio \overline{U}(t) para o conjunto da camada tem expressão em série (forma clássica):
\overline{U}(t)=1-\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8}{\pi^2(2m+1)^2} \exp\!\left(-\frac{(2m+1)^2\pi^2 T_v}{4}\right),
onde T_v é o tempo adimensional; aqui, para drenagem dupla, T_v=\dfrac{C_v t}{(H/2)^2}. Esse \overline{U} dá uma visão global, mas a questão pede U e u em pontos específicos, então vamos usar a solução pontual acima.

Passo 3

Cálculos preliminares numéricos (converter unidades e obter o fator de tempo):
  1. Tempo em segundos:
t = 20\\ \text{anos} = 20\times 365\times24\times3600 = 630\,720\,000\\ \mathrm{s}.
  1. Produto C_v t:
C_v t = 1{,}0\times10^{-8}\times630\,720\,000 = 6{,}3072\\ (\text{sem unidade, m}^2).
  1. Como a camada tem drenagem dupla, o caminho de drenagem máximo é L_d = H/2 = 6\\ \mathrm{m}. O tempo adimensional para drenagem dupla é
T_v=\frac{C_v t}{L_d^2}=\frac{6{,}3072}{6^2}=\frac{6{,}3072}{36}=0{,}1752.
(Observação: muitas fórmulas usam H na denominador; aqui usamos diretamente a solução com H dentro do expoente, que é equivalente numericamente — os resultados abaixo usam H=12\\ \mathrm{m} na exponencial conforme a série mostrada no Passo 2.)

Passo 4

Cálculo do grau médio de adensamento (checagem, não é o pedido principal)
  • Usando a série truncada nos dois primeiros termos (m=0 e m=1) para \overline{U}:
\overline{U}=1-\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8}{\pi^2(2m+1)^2} \exp\!\left(-\frac{(2m+1)^2\pi^2 T_v}{4}\right).
Calculando os dois primeiros termos numericamente (valores aproximados mostrados):
  • Para m=0: termo \approx 0{,}5264.
  • Para m=1: termo \approx 0{,}00184.
    Soma \approx 0{,}5282. Assim
\overline{U}\approx 1-0{,}5282=0{,}4718\approx47{,}2\%.
(Isto é apenas uma referência do grau médio da camada aos 20 anos; a questão pede os valores em profundidades específicas, que seguem abaixo.)

Passo 5

Cálculo ponto a ponto de u(z,t) e U(z,t) para Z=0,\;3,\;6,\;9,\;12\\ \mathrm{m}
Usamos a solução por série (repetindo):
u(z,t)=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{4u_0}{(2j+1)\pi}\, \sin\!\left(\frac{(2j+1)\pi z}{H}\right) \exp\!\left(-\frac{(2j+1)^2\pi^2 C_v t}{H^2}\right).
Tomaremos os primeiros três termos ( j=0,1,2), o que é suficiente aqui porque os termos seguintes são negligíveis numericamente.
Constantes numéricas para os termos:
\alpha_j=\frac{4u_0}{(2j+1)\pi},\qquad \beta=\frac{\pi^2 C_v t}{H^2}.
Calculemos \beta:
\beta=\frac{\pi^2\times6{,}3072}{12^2}=\frac{\pi^2\times6{,}3072}{144}\approx0{,}43242.
Então o fator exponencial para o termo j é \exp\big(- (2j+1)^2\beta\big).
Agora calculamos para cada profundidade:
A) Z=0\\ \mathrm{m} (superfície drenante)
  • Pelas condições de contorno u(0,t)=0. Logo
u(0,t)=0\\ \mathrm{kPa},\qquad U(0,t)=1\\ (=100\%).
B) Z=3\\ \mathrm{m}
  • Calculemos os primeiros termos (mostrando valores):
    • j=0: (2j+1)=1, \alpha_0=\frac{4\times100}{1\pi}=\frac{400}{\pi}\approx127{,}324,
\sin\!\left(\frac{\pi\cdot3}{12}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}7071068,
\exp\big(-1^2\beta\big)=\exp(-0{,}43242)\approx0{,}64886.
Produto do termo \(j=0\): \(127{,}324\times0{,}7071068\times0{,}64886\approx58{,}40\\ \mathrm{kPa}.\)
  • j=1: (2j+1)=3, \alpha_1=\frac{400}{3\pi}\approx42{,}441,
\sin\!\left(\frac{3\pi\cdot3}{12}\right)=\sin\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=0{,}7071068,
\exp\big(-3^2\beta\big)=\exp(-3{,}8918)\approx0{,}0204.
Produto do termo \(j=1\): \(\approx0{,}61\\ \mathrm{kPa}.\)
  • j=2: contribuição \sim10^{-4}\\ \mathrm{kPa} (negligível).
  • Somando:
u(3,t)\approx58{,}40+0{,}61\approx59{,}01\\ \mathrm{kPa}.
  • Grau de adensamento local:
U(3,t)=1-\frac{u(3,t)}{u_0}=1-\frac{59{,}01}{100}\approx0{,}4099\approx40{,}99\%\\ (\approx41{,}0\%).
C) Z=6\\ \mathrm{m} (meio da camada)
  • Cálculos dos termos:
    • j=0: \sin\!\left(\frac{\pi\cdot6}{12}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,termo j=0: 127{,}324\times1\times0{,}64886\approx82{,}59\\ \mathrm{kPa}.
    • j=1: \sin\!\left(\frac{3\pi\cdot6}{12}\right)=\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1,termo j=1: -42{,}441\times\exp(-3{,}8918)\approx-0{,}87\\ \mathrm{kPa}.
    • j=2: contribution negligible ( \sim5\times10^{-4}\\ \mathrm{kPa}).
  • Somando:
u(6,t)\approx82{,}59-0{,}87\approx81{,}72\\ \mathrm{kPa}\\ (\text{arred.}).
  • Grau de adensamento local:
U(6,t)=1-\frac{u(6,t)}{u_0}=1-\frac{81{,}72}{100}\approx0{,}1828\approx18{,}3\%.
D) Z=9\\ \mathrm{m}
  • A camada é simétrica em torno do meio; os resultados para Z=9\\ \mathrm{m} são iguais aos de Z=3\\ \mathrm{m}:
u(9,t)\approx59{,}01\\ \mathrm{kPa},\qquad U(9,t)\approx41{,}0\%.
E) Z=12\\ \mathrm{m} (base drenante)
  • Pela condição de contorno, u(12,t)=0. Logo
u(12,t)=0\\ \mathrm{kPa},\qquad U(12,t)=1\\ (=100\%).
(Observação: nas contas numéricas acima os termos além de j=1 são desprezíveis; mantivemos precisão suficiente para o enunciado prático — os valores finais foram arredondados a três dígitos significativos quando adequado.)

Resposta

Z=0\\ \mathrm{m}:\\ U=100\%,\\ u_{\text{res}}=0\\ \mathrm{kPa}
Z=3\\ \mathrm{m}:\\ U\approx41{,}0\%,\\ u_{\text{res}}\approx59{,}0\\ \mathrm{kPa}
Z=6\\ \mathrm{m}:\\ U\approx18{,}3\%,\\ u_{\text{res}}\approx81{,}7\\ \mathrm{kPa}
Z=9\\ \mathrm{m}:\\ U\approx41{,}0\%,\\ u_{\text{res}}\approx59{,}0\\ \mathrm{kPa}
Z=12\\ \mathrm{m}:\\ U=100\%,\\ u_{\text{res}}=0\\ \mathrm{kPa}

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