(Valor =\mathbf{2 , 0} ) Uma placa plana aguda quadrada, com 50 cm de lado, está imersa paralelamente a uma corrente de velocidade 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sendo o fluido água, ocorre camada limite turbulenta ao longo dessa placa? Justifique.
Considere: \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \nu=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}
Equações:
R e_{x}=\frac{\rho U x}{\mu}
v=\frac{\mu}{\rho}
Re _{\text {crit }}=5 \times 10^{5}

Passo 1

O enunciado pergunta se, para uma placa quadrada plana e imersa paralelamente a uma corrente de água com velocidade 2,0\\ \mathrm{m/s} e lado 50\\ \mathrm{cm}, ocorre camada-limite turbulenta ao longo da placa. Dados fornecidos:
  • Velocidade do escoamento libre: U=2,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Comprimento (lado) da placa: L=50\\ \mathrm{cm}=0,50\\ \mathrm{m}.
  • Densidade da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Viscosidade cinemática: \nu=10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Critério de transição (dado): \mathrm{Re}_{\text{crit}}=5\times10^{5}.
    O que se pede: responder “ocorre camada-limite turbulenta?” e justificar, isto é, determinar se em alguma posição ao longo da placa a camada-limite passa de laminar para turbulenta.

Passo 2

Conceito e critério que vamos usar — Reynolds local para placa plana:
  • O número de Reynolds local em função da distância x desde a borda de ataque é
\mathrm{Re}_{x}=\frac{\rho U x}{\mu}.
  • Como \nu=\dfrac{\mu}{\rho}, podemos reescrever de forma mais simples
\mathrm{Re}_{x}=\frac{U x}{\nu}.
Explicação didática: \mathrm{Re}_{x} compara esforços inerciais ( \rho U^{2}) com esforços viscosos ( \mu U/x). Para placas planas, experimentos mostram que, mantendo condições suaves de superfícies e escoamento, a camada-limite tende a permanecer laminar enquanto \mathrm{Re}_{x} for menor que aproximadamente \mathrm{Re}_{\text{crit}}=5\times10^{5}. Quando \mathrm{Re}_{x}>\mathrm{Re}_{\text{crit}}, iniciam-se instabilidades que levam à transição para turbulência.

Passo 3

Aplicar a fórmula para a extremidade da placa (para ver se na borda de fuga a condição já ultrapassa o crítico). Tomamos x=L=0,50\\ \mathrm{m}. Calculemos \mathrm{Re}_{L}:
\mathrm{Re}_{L}=\frac{U\,L}{\nu}=\frac{2{,}0\cdot 0{,}50}{10^{-6}}.
Fazendo as contas passo a passo:
2{,}0\cdot 0{,}50 = 1{,}0,
\mathrm{Re}_{L}=\frac{1{,}0}{10^{-6}}=1{,}0\times10^{6}.

Passo 4

Comparação com o valor crítico:
\mathrm{Re}_{L}=1{,}0\times10^{6} \quad\text{e}\quad \mathrm{Re}_{\text{crit}}=5\times10^{5}.
Como \mathrm{Re}_{L}>\mathrm{Re}_{\text{crit}}, a camada-limite atinge valores de Reynolds acima do crítico antes da borda de fuga: portanto haverá transição para turbulência em algum ponto x ao longo da placa.

Passo 5

Determinar a posição aproximada de transição x_{\text{cr}} resolvendo \mathrm{Re}_{x}=\mathrm{Re}_{\text{crit}}:
\mathrm{Re}_{\text{crit}}=\frac{U\,x_{\text{cr}}}{\nu}\quad\Rightarrow\quad x_{\text{cr}}=\frac{\mathrm{Re}_{\text{crit}}\;\nu}{U}.
Substituindo os valores:
x_{\text{cr}}=\frac{5\times10^{5}\cdot 10^{-6}}{2{,}0}=\frac{0{,}5}{2{,}0}=0{,}25\\ \mathrm{m}=25\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: a camada-limite é esperada laminar desde a borda de ataque até aproximadamente x=25\\ \mathrm{cm} e tornar-se turbulenta para x>25\\ \mathrm{cm}. Como a placa tem 50\\ \mathrm{cm}, há uma região turbulenta entre 25\\ \mathrm{cm} e 50\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Observações práticas e hipóteses (para levar em conta na prova):
  • Esse cálculo usa o critério empírico \mathrm{Re}_{\text{crit}}=5\times10^{5} para placa plana lisa em escoamento livre. Rugosidade da superfície, vibrações, perturbações do escoamento podem antecipar a transição (torná-la ocorrer em x menor).
  • Supõe-se fluxo paralelo e sem efeitos secundários (escolha razoável para uma placa extensa e posição suficientemente distante de obstáculos).
  • Relação entre \mu, \rho e \nu: \mu=\rho\nu. Com os dados, \mu=1000\cdot10^{-6}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (apenas para consistência).

Resposta

Sim. Porque \mathrm{Re}_{L}=\dfrac{U L}{\nu}=1{,}0\times10^{6}>\mathrm{Re}_{\text{crit}}=5\times10^{5}.
A transição ocorre aproximadamente em x_{\text{cr}}=0{,}25\\ \mathrm{m}=25\\ \mathrm{cm}; portanto a região x>25\\ \mathrm{cm} (até 50\\ \mathrm{cm}) é turbulenta.

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