Qual a derivada direcional de f(x, y, z)=5 x+3 y z no ponto (1,1,1) e na direção do vetor (1,0,1) ?
Escolha uma opção:
a. -15
b. 1
c. 19raiz2
d. 6 raiz2
e. 4 raiz2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada direcional da função $ f(x, y, z) = 5x + 3yz $ no ponto $ (1, 1, 1) $ e na direção do vetor $ (1, 0, 1) $. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como calcular usando gradientes e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função $ f $ em um ponto $ \mathbf{P} $ na direção de um vetor $ \mathbf{v} $ é dada por:
f
onde $ \nabla f(\mathbf{P}) $ é o gradiente de $ f $ no ponto $ \mathbf{P} $ e $ \mathbf{u} $ é o vetor unitário na direção de $ \mathbf{v} $.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente $ \nabla f $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de $ f $:
nabla f
Calculando cada derivada parcial:
f
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
partial fpartial x = 5
Portanto, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ (1, 1, 1) $:
(1, 1, 1)

Passo 5

Em seguida, precisamos transformar o vetor direção $ (1, 0, 1) $ em um vetor unitário $ \mathbf{u} $. Para isso, calculamos o módulo do vetor:
(1, 0, 1)
Então, o vetor unitário é:
u

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Dvf(1, 1, 1) = nabla f(1, 1, 1) cdot u = 5 times 1raiz2 + 3 times 0 + 3 times 1raiz2 = 5raiz2 + 0 + 3raiz2 = 8raiz2
Simplificando a fração:
8raiz2 = 8 raiz22 = 4 raiz2

Resposta

A derivada direcional de $ f $ no ponto $ (1, 1, 1) $ na direção do vetor $ (1, 0, 1) $ é $ 4 \sqrt{2} $. Portanto, a opção correta é a e. $ 4 \sqrt{2} $.

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