Qual a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
?
Escolha uma opção:
a. -15
b. 1
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a. -15
b. 1
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada direcional da função $ f(x, y, z) = 5x + 3yz $ no ponto $ (1, 1, 1) $ e na direção do vetor $ (1, 0, 1) $. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional e como calcular usando gradientes e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função $ f $ em um ponto $ \mathbf{P} $ na direção de um vetor $ \mathbf{v} $ é dada por:
onde $ \nabla f(\mathbf{P}) $ é o gradiente de $ f $ no ponto $ \mathbf{P} $ e $ \mathbf{u} $ é o vetor unitário na direção de $ \mathbf{v} $.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente $ \nabla f $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de $ f $:
Calculando cada derivada parcial:
Portanto, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ (1, 1, 1) $:
Passo 5
Em seguida, precisamos transformar o vetor direção $ (1, 0, 1) $ em um vetor unitário $ \mathbf{u} $. Para isso, calculamos o módulo do vetor:
Então, o vetor unitário é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Simplificando a fração:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ no ponto $ (1, 1, 1) $ na direção do vetor $ (1, 0, 1) $ é $ 4 \sqrt{2} $. Portanto, a opção correta é a e. $ 4 \sqrt{2} $.