Derivada: \frac{d}{d x}\left(x^{2}+x y+y^{2}-3 y\right)=\frac{d}{d x}(10)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita
x^{2} + x\,y + y^{2} - 3y = 10
e pede a derivada \displaystyle \frac{dy}{dx} obtida por diferenciação implícita em relação a x.

Passo 2

Aplicamos \displaystyle \frac{d}{dx} termo a termo na expressão à esquerda e igualamos a derivada de 10 (que é 0). Em particular:
\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x,
\frac{d}{dx}(x\,y) = x\frac{dy}{dx} + y\cdot1 = x\,y' + y,
\frac{d}{dx}(y^{2}) = 2y\,\frac{dy}{dx} = 2y\,y',
\frac{d}{dx}(-3y) = -3\,\frac{dy}{dx} = -3\,y',
\frac{d}{dx}(10) = 0.

Passo 3

Somando todas as derivadas e igualando a zero, obtemos
2x + (x\,y' + y) + 2y\,y' - 3\,y' = 0.
Agora agrupamos os termos que contêm y':
2x + y + y'\bigl(x + 2y - 3\bigr) = 0.

Passo 4

Isolamos y' na equação acima:
y'\bigl(x + 2y - 3\bigr) = -\bigl(2x + y\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{2x + y}{x + 2y - 3}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y - 3}.

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