A curva x^{2}+\left(y-\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{2}=1 se assemelha a um coração. Determine as retas tangentes à curva com abscissa x=0,5.

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^{2} + \bigl(y - x^{2/3}\bigr)^{2} = 1
e pede as retas tangentes nos pontos cuja abscissa é x = 0,5. Vamos (1) determinar as ordenadas desses pontos, (2) achar y' pela diferenciação implícita e (3) escrever as equações das retas tangentes.

Passo 2

Substituindo x = 0,5 na curva, define-se
t = x^{2/3} = \bigl(0,5\bigr)^{2/3} = 2^{-2/3}.
Então
(0,5)^{2} + \bigl(y - t\bigr)^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac14 + (y - t)^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad (y - t)^{2} = \tfrac34.
Logo as ordenadas são
y = t \pm \frac{\sqrt{3}}{2} = 2^{-2/3} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Para achar a derivada y', diferencie implicitamente
x^{2} + (y - x^{2/3})^{2} = 1.
Temos
2x + 2\,(y - x^{2/3})\Bigl(y' - \frac{2}{3}x^{-1/3}\Bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad (y - x^{2/3})\Bigl(y' - \tfrac{2}{3}x^{-1/3}\Bigr) = -x,
então
y' = \frac{2}{3}\,x^{-1/3} \;-\;\frac{x}{\,y - x^{2/3}\,}.

Passo 4

Agora avalie em x=0,5. Note que
x^{-1/3} = (0,5)^{-1/3} = 2^{1/3}, \quad t = 2^{-2/3}, \quad y - t = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto os declives são
m_{\pm} = \frac{2}{3}\,2^{1/3} \;-\; \frac{0,5}{\pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{3}\,2^{1/3} \mp \frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Chamando os pontos
P_{+}:\bigl(0,5,\;2^{-2/3} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr),\quad P_{-}:\bigl(0,5,\;2^{-2/3} - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr),
e os declives
m_{+} = \frac{2}{3}\,2^{1/3} - \frac{1}{\sqrt{3}},\quad m_{-} = \frac{2}{3}\,2^{1/3} + \frac{1}{\sqrt{3}},
as retas tangentes são, usando y - y_{0} = m(x - 0,5):
para P_{+}:
y - \Bigl(2^{-2/3} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{2}{3}2^{1/3} - \tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)\,(x - 0,5),
para P_{-}:
y - \Bigl(2^{-2/3} - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{2}{3}2^{1/3} + \tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)\,(x - 0,5).

Resposta

As retas tangentes em x=0,5 são
y - \Bigl(2^{-2/3} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{2}{3}2^{1/3} - \tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)\,(x - 0,5)
e
y - \Bigl(2^{-2/3} - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{2}{3}2^{1/3} + \tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)\,(x - 0,5).

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